p>El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial… Seguir leyendo EFM: ED lineales de primer orden
Autor: admin
ALG: Factorización PA=LU
El pasado día vimos la factorización LU de una matriz cuadrada; es decir, conseguir descomponer $A$ en un producto $$A=L\,U,$$ de manera que $U$ triangular superior y $L$ sea triangular inferior con su diagonal principal todo unos. Para hacerlo seguíamos el proceso de trasformaciones elementales $$[I|A]~[L^*|U],$$ donde $U$ es la matriz triangular superior que perseguimos… Seguir leyendo ALG: Factorización PA=LU
ALG: Factorización LU
p>La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. El propósito es dada una matriz $A$ conseguir descomponer esta en un producto $$A=L\,U,$$ de manera $L$ sea triangular inferior y $U$ triangular superior. Recordad que una operación elemental entre filas se puede… Seguir leyendo ALG: Factorización LU
EFM: Factores integrantes
El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial… Seguir leyendo EFM: Factores integrantes
EFM: Ecuación diferencial exacta
Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$. Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$ y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$ Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$,… Seguir leyendo EFM: Ecuación diferencial exacta
ALG: Menor y matriz adjunta
Hemos dado las definición de menor y adjunto de un elemento de una matriz, y terminamos definiendo el rango de una matriz en función del orden del mayor menor no nulo. La existencia del determinante no nulo nos permite dar la inversa de una matriz en función de él: $$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)^{t}$$ siendo $adj(A)$ la matriz ajunta… Seguir leyendo ALG: Menor y matriz adjunta
ALG: Determinantes
Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes. Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace. La definición clásica y su significado puede verse… Seguir leyendo ALG: Determinantes
ALG: Matriz inversa
En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$ El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o… Seguir leyendo ALG: Matriz inversa
EFM: ED homogéneas
Siguiendo con los métodos de resolver ED, definimos las funciones homogéneas. Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, se se dice homogénea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$. Utilizando las funciones homogéneas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la función $f(x,y)$ es… Seguir leyendo EFM: ED homogéneas
EFM: Formas diferenciales exactas
En este curso trataremos una forma diferencia exacta como una expresión del tipo $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.$$ En determinados casos esta ecuación se puede tratar como una ecuación diferencia de variables separadas. Si la forma es: $$F_1(x)G_2(y)dx+F_2(x)G_1(y)dy=0,$$ resulta que $$\frac{G_1(y)}{G_2(y)}dy=-\frac{F_1(x)}{F_2(x)}dx,$$ que se puede tratar como la ecuaciones que ya hemos visto Ejercicio: Resolver la ED, $(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx=0, \; y(1)=0$.