En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$
El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conocéis como método de Gauss. Sería el siguiente: Sea $A$ la matriz, y consideremos la matriz formada por $[A\, |\, I_n]$. Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que
$$[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],$$
entonces $B$ es la inversa de $A$.
No siempre podemos conseguir la inversa, bien por que la matriz no sea cuadrada o por que no tenga. Entonces tenemos que plantearnos la posibilidad de encontrar una matriz, para cualquier matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, talque
$$AR=I_m$$ o $$LA=I_n.$$
En caso de existir, denominamos a $R\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la derecha de la matriz $A$; y a $L\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la izquierda de la matriz $A$.
Un resultado que utilizaremos:
Una matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ tiene pseudoinversa por la derecha(izquierda) si, y sólo si, $rang(A)=m$ ($rang(A)=n$)
En caso de existir la pseudoinversa, entonces esta la calcularemos mediante $$R=A^t(AA^t)^{-1},$$
o
$$L=(A^tA)^{-1}A^t.$$
| Ejercicio: Dadas las matrices $$ \begin{bmatrix}0& -1/3& 1/3\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}0& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}1/3& -2/3& 0\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix}, $$ cuál es una pseudoinversa por la izquierda de $$\begin{bmatrix}1& 2\\ -1& 1\\ 2& 1\end{bmatrix}$$ . |