Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes.
Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace.
La definición clásica y su significado puede verse en Determinante. En este enlace podéis encontrar también propiedades importantes. Recordad estas propiedades por que serán muy importantes para aprender bien este tema.
Hemos dado las definición de menor y adjunto de un elemento de una matriz.
Propiedades de los determinantes: asumamos $A$ y $B$ dos matrices cuadradas del mismo orden,
- $|A|=|A^t|$
- Si $B$ es el resultado de hacer una transformación elemental por fila(columna) a la matriz $A$, $A\overset{f_i+\lambda f_j\\ (c_i+\lambda c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=|B|$
- Si $B$ es el resultado de intercambiar una fila(columna) de la matriz $A$, $A\overset{f_i \leftrightarrow f_j\\ (c_i\leftrightarrow c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=-|B|$
- Si $B$ es el resultado de multiplicar una fila(columna) de la matriz $A$ por un escalar, $A\overset{f_i = \lambda f_i\\ (c_i=\lambda c_i)}{\sim}B\Rightarrow|B|=\lambda |A|$
- $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a+b & c+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a & c\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ b & d\end{bmatrix}$. De igual modo podemos hacerlo para toda matriz cuadrada de orden $n$.
- $|A\,B|=|A|\cdot |B|$
| Ejercicio: Probar que si una matriz, $A$, tiene inversa, entonces $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ . |