Siguiendo con los métodos de resolver ED, definimos las funciones homogéneas.
Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, se se dice homogénea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$.
Utilizando las funciones homogéneas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la función $f(x,y)$ es homogénea de grado cero, entonces el cambio de variable $y=ux$ la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas. Así obtendríamos la ecuación
$$\frac{du}{f(1,u)-u}=\frac{dx}{x}$$
Cuando tenemos dos funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ homogéneas del mismo grado resulta que la ED $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$$ se puede expresar como $$\frac{dy}{dx}=f(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)},$$ siendo $f(x,y)$ homogénea de grado 0. Por tanto, la podemos considerar una ED de variables separables, $y=xu$, teniendo
$$x\frac{du}{dx}=-\frac{M(1,u)}{N(1,u)}-u.$$
En tal caso,$$\frac{dx}{x}+\frac{N(1,u)du}{M(1,u)+uN(1,u)}=0,$$ nos sirve para determinar la solución de la ED
| Ejercicio: Resolver la ED, $(y-xy’)^2=x^2+y^2$. |