p>El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}.$$
A esta función $\mu$, la denominamos factor integrante. A veces, el uso de factores integrantes nos ayudan a simplificar una ecuación diferencial (ED). En general la transformamos en una ED exacta o en una ED de variables separadas.
Esta técnica nos permite resolver la ED
$$\begin{cases} y’+P(x)y = Q(x)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$$
Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$.
Si utilizamos el factor integrante
$$e^{\int_{x_0}^x P(x) dx }, $$
la solución de esta ecuación viene dada por:
$$y(x) =e^{ – \int_{x_0}^x P(x) dx } \left[ y_0 + \int_{x_0}^x Q(x) e^{ \int P(x) dx } dx \right]$$
| Ejercicio:Resolver $y’\,\cos(x)+y\sin(x)-1=0$ |