Hoy terminamos la parte de los número binomiales extendiendo el teorema del binomio al conocido resultado de la fórmula de Leibniz: Dados $m$ enteros y un natural $n$, se tiene
$$(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} \prod_{1\le t\le m}x_{t}^{k_{t}}$$
Aquí definimos los coeficientes multinomiales como
$$
{n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} =\frac{n!}{k_1!· k_2! \cdots k_m!}
$$
donde $k_1+ k_2+ \ldots+ k_m=n$. Recordad que esto era equivalente a las permutaciones con repetición donde se repetían determinados elementos un determinado numero de veces.
Otro equivalente que podemos encontrar son los coeficientes $\left(\!\!{n \choose m}\!\!\right)$ que hacen referencia a las combinaciones con repetición:
$$\left(\!\!\!\!{n \choose m}\!\!\!\!\right)={n+m-1 \choose m}$$
Esto nos da pie a deducir que el número de coeficientes multinomiales de la fórmula de Leibniz es
$${n+m-1 \choose m-1}$$ que es coincidente con
$${n+m-1 \choose m-1}=\left(\!\!\!\!{m \choose n}\!\!\!\!\right)={m+n-1 \choose n},$$
ya que se corresponde con todos los posibles monomios $x_1^{k_1} \cdot x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}$
Otra deducción observamos si consideramos $x_1 = x_2 = \cdots = x_m=1$, en tal caso la suma de los coeficientes multinomiales de la fórmula de Leibniz es
$$\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}=m^n$$
| Ejercicio: Calcular el coeficiente de $x^3y^4z^2$ del desarrollo de $(x+y+3z)^9$ |