El pasado día vimos si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicación lineal $f:V\to W$, entonces $$f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.$$ Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicación analizando sus correspondientes matrices asociadas. Llamamos rango de una aplicación lineal $f$ al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si $f:V\to W$… Seguir leyendo ALG: Propiedades de la matriz asociada a una aplicación
Mes: noviembre 2017
ALG: Matriz asociada a una aplicación lineal
Dada una aplicación lineal, $f:V\to W$, entre dos espacios vectoriales definimos la matriz asociada de la aplicación respecto de una base $B_V\subseteq V$ como la matriz cuyas columnas son las coordendas respecto de otra base $B_W\subseteq W$ de las imágenes de los vectores de $B_V$; es decir, si $B_V=\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\}$, $B_W=\{\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_m\}$, y $$ \begin{matrix} f(\vec{v}_1)=k_{11}\vec{w}_1+k_{21}\vec{w}_2+k_{31}\vec{w}_3+\ldots+k_{m1}\vec{w}_m;\\ f(\vec{v}_2)=k_{12}\vec{w}_1+k_{22}\vec{w}_2+k_{32}\vec{w}_3+\ldots+k_{m2}\vec{w}_m;\\… Seguir leyendo ALG: Matriz asociada a una aplicación lineal
EFM: No homogénea con exponencial
Hoy abordamos la ecuación $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P(x)\, e^{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)\, e^{rx}$$ Ejercicio: Resolver y”+y= e^{2x}, s.a., y(0)=0, y’(0)=2 .
EFM: No homogenea con solución particular polinómica
En esta sesión de hoy hemos abordado el problema de una ED no homogénea donde la componente no homogénea es polinómica. En tal caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)$$ donde Q(x) es un polinomio del mismo grado que la componente no homogénea, y xs es el factor que dependerá de la raíz… Seguir leyendo EFM: No homogenea con solución particular polinómica
ALG: Aplicaciones lineales
Al hablar de grupos se introdujo la definición de homomorfismo y con ella la de núcleo. Ahora extendemos esta definición a espacios vectoriales para definir la aplicación lineal: un homomorfismo entre espacios vectoriales. Así diremos que una aplicación (en algunos libros le dicen Transformación) entre dos espacios vectoriales, $f:V\to W$, sobre el mismo cuerpo$\mathbb{K}$, es… Seguir leyendo ALG: Aplicaciones lineales
ALG: Cambio de base
Recordemos que todo espacio vectorial finitamente generado tiene una base. Sea $V$ nuestro $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $\mathcal{B}=\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}$, una base del mismo. Para cualquier vector de $V$, $\vec{v}\in V$, existirán unos únicos escalares $k_i\in \mathbb{K}$, tales que $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots+k_n\vec{v}_n.$$ Pues bien, a esos escalares los denominamos coordenadas de $\vec{v}$ respecto de la base $\mathcal{B}$. Así, representado… Seguir leyendo ALG: Cambio de base
ALG: Subespacios vectoriales
La definición de base del pasado día nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. Así, si $\vec{v}\in V$, donde $V$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$, decimos que $(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ son las coordenadas del $\vec{v}$ respecto de la base $B$, si $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2 \vec{v}_2+\ldots+k_n\vec{v}_n$$ Un resultado muy interesante: Un… Seguir leyendo ALG: Subespacios vectoriales
EFM: ED lineal homogénea de orden 2
Con la idea de analizar la solución de una ED Homogénea de cualquier orden, veamos como lo hacemos con una de orden dos. Para resolver este problema necesitamos las soluciones de la ecuación característica de la ED. Si lo vemos para $$a_2y”+a_1y’+a_0y=0,$$ resultará: $$a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0.$$ Las soluciones de esta ecuación dan la solución general. Para ello… Seguir leyendo EFM: ED lineal homogénea de orden 2
EFM: ED lineal homogénea
Definimos una ecuación diferencia lineal homogénea de grado $n$, como una ecuación de la forma $$a_{n}(x)\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\ldots +a_1(x)y’+a_0(x)y=0.$$ En nuestro caso nos centraremos en ecuaciones donde los coeficientes $a_i(x)$ son constantes. Para resolverlas necesitamos la ecuación característica de la ED, que se construye de la forma: $$a_{n} \lambda^n+a_{n}\lambda^{n-1}+\ldots +a_1\lambda+a_0=0.$$ Esta es una ecuacion de coeficientes reales… Seguir leyendo EFM: ED lineal homogénea
ALG: Espacios vectoriales
El pasado día vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre un cuerpo. Así definimos el espacio vectorial y el subesapcio vectorial, y uno en particular, $\mathbb{R}^n$. Haremos hincapié en: Sistema generador Combinación lineal… Seguir leyendo ALG: Espacios vectoriales