El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial… Seguir leyendo EFM: Factores integrantes
Mes: octubre 2017
EFM: Ecuación diferencial exacta
Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$. Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$ y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$ Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$,… Seguir leyendo EFM: Ecuación diferencial exacta
ALG: Menor y matriz adjunta
Hemos dado las definición de menor y adjunto de un elemento de una matriz, y terminamos definiendo el rango de una matriz en función del orden del mayor menor no nulo. La existencia del determinante no nulo nos permite dar la inversa de una matriz en función de él: $$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)^{t}$$ siendo $adj(A)$ la matriz ajunta… Seguir leyendo ALG: Menor y matriz adjunta
ALG: Determinantes
Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes. Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace. La definición clásica y su significado puede verse… Seguir leyendo ALG: Determinantes
ALG: Matriz inversa
En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$ El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o… Seguir leyendo ALG: Matriz inversa
EFM: ED homogéneas
Siguiendo con los métodos de resolver ED, definimos las funciones homogéneas. Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, se se dice homogénea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$. Utilizando las funciones homogéneas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la función $f(x,y)$ es… Seguir leyendo EFM: ED homogéneas
EFM: Formas diferenciales exactas
En este curso trataremos una forma diferencia exacta como una expresión del tipo $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.$$ En determinados casos esta ecuación se puede tratar como una ecuación diferencia de variables separadas. Si la forma es: $$F_1(x)G_2(y)dx+F_2(x)G_1(y)dy=0,$$ resulta que $$\frac{G_1(y)}{G_2(y)}dy=-\frac{F_1(x)}{F_2(x)}dx,$$ que se puede tratar como la ecuaciones que ya hemos visto Ejercicio: Resolver la ED, $(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx=0, \; y(1)=0$.
ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices
Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales: Tomemos $\mathbb{K}$ el cuerpo $\mathbb{R} o \mathbb{C}$, y consideremos $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ una matriz y $A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]$ ($A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’$) una de las filas (columnas) de la matriz. Sea $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ la matriz tal que $b_{ij}=a_{ij}$ salvo los elementos de la fila $B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]$ ($B(c_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,m}]’$)… Seguir leyendo ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices
ALG: Matrices
Comenzamos con el tema de Matrices. Lo primero será definir las matrices: Definición Matriz columna, matriz fila Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, triángular… Operaciones con matrices Suma de matrices Multiplicación de escalar por matriz. Con estas operaciones se cumple: Consideremos $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y $A,B,C\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ el conjunto de los números reales o complejos,… Seguir leyendo ALG: Matrices
ALG: Presentación
En la presentación del día de hoy hemos visto Presentación Objetivos de la asignatura Metodología y Evaluación Bibliografía Objetivos, Metodología y Evaluación Se detallan en la guía que podéis encontrar en guía de Grado . Bibliográfica Básica Grossman, “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 2008 www.ingebook.com Aconsejable Jorge Arvesu y otros, Problemas resueltos de Álgebra lineal. Thomson,… Seguir leyendo ALG: Presentación