Categoría: Álgebra Lineal

En día de hoy consideramos un caso particular de endomorfismos y matrices que se consideran son simétricos. Para ello definimos un endomorfismo simétrico. Si consideramos un espacio eunclídeo $\mathcal{E}$, con el producto escalar $\bullet$, se dice que un endomorfismo $f:\mathcal{E}\to\mathcal{E}$ es simétrico si: $$\vec{u}\bullet f(\vec{v})=\vec{v}\bullet f(\vec{u}),\quad\forall \vec{u},\vec{v}\in\mathcal{E}.$$ La característica de un endomorfismo simétrico está asociada… Seguir leyendo ALG: Diagonalización ortogonal

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovetores de la matriz. Sea, por tanto, $A$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces La matriz $A$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica… Seguir leyendo ALG: Diagonalización de una matriz

El pasado día vimos cómo calculábamos los autovalores, las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$p_A(\lambda)=det(A-\lambda\, I),$$ El polinomio $p_A(\lambda)$ es el polinomio característico de $A$. Cada valor propio tiene asociado un conjunto $\mathcal{C}_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n|A\vec{v}=\lambda\vec{v}\}$, que se determina resolviendo el sistema homogéneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de… Seguir leyendo ALG: Autovectores y subespacios propios

Comenzamos explicado que son los valores y vectores propios, o autovalores y autovectores, de una matriz y. Hemos aprendido a calcular los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C}$, la matriz… Seguir leyendo ALG: Autovectores y autovalores

Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\mathcal{E},\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\vec{x})\bullet f(\vec{y})=\vec{x}\bullet \vec{y},\quad\forall\,\vec{x}, \vec{y}\in\mathcal{E}$$ Propiedades que cumple una aplicación ortogonal: Es lineal Conserva la norma; es decir, $||f(\vec{x})||=||\vec{x}||$ Dos vectores son ortogonales si, y solo si, sus imágenes… Seguir leyendo ALG: Matrices ortogonales

El pasado día veíamos que cuando $S$ era un subespacio vectorial entonces $$E=S\oplus S^{\bot}$$ Esto implica que para todo vector $\vec{v}\in E$ existirán dos únicos vectores $\vec{u}\in S$ y $\vec{w}\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.$$ Estos vectores $\vec{u}$ o $\vec{w}$ son lo que llamamos proyecciones ortogonales de $\vec{v}$ sobre $S$ o $S^{\bot}$ respectivamente. La definición clásica… Seguir leyendo ALG: Proyección ortogonal

En el día de hoy hemos trabajado con el complemento ortogonal. Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, $E$, definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio $S$ de $E$ a $$S^\bot=\{\vec{v}\in E|\;<\vec{v},\vec{u}>=0\,\forall \vec{u}\in S\}$$ El ortogonal de un conjunto cumple propiedades muy interesantes, como que es un subespacio vectorial,… Seguir leyendo ALG: Complemento ortogonal

Comenzamos a tratar los vectores ortogonales y ortonormales, que nos llevarán a dar las definiciones de base ortogonal y sistema ortonormal. Todo esto nos llevará al proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt: un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto escalar, otro conjunto ortonormal de vectores que… Seguir leyendo ALG: Ortogonalidad

Hoy hemos comenzado con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del el más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial la herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o… Seguir leyendo ALG: Espacio Euclídeo

En este día hemos tratado la posición relativa de dos variedades afines: $L_1=P+C_1$ y $L_2=Q+C_2$. Diremos que se cortan si el conjunto $L_1\cap L_2$ no es vacío. Si $L_1\cap L_2=\phi$; es decir, si no se cortan, puede ocurrir que $C_1\subseteq C_2$ (o $C_2\subseteq C_1$ ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso… Seguir leyendo ALG: Intersección, incidencia y paralelismo