Las combinaciones las introducimos para determinar en número de subconjuntos que podemos hacer con los elementos de un conjunto. Sabemos que el total serían el cardinal de las partes de un conjunto, pero en este caso queremos conocer los subconjuntos con un determinado cardinal. Así definimos las combinaciones de n elementos tomados de $m$ en $m$, con $m<n$, como los subconjuntos de $m$ elementos que podemos hacer con los $n$ elementos de un conjunto.
Como hemos visto hoy ese número será $$C_{n,m}=\frac{V_{n,m}}{P_m}=\frac{n!}{m!\,(n-m)!}$$
Otra variación que podemos hacer es un número determinado de objetos elegidos entre varios conjuntos de objetos. Por ejemplo, tenemos limones, naranjas y peras suficientes para repartir un pieza a cada uno de nuestros once alumnos. ¿De cuantas formas podríamos hacerlo? Esta manera de repartir, en la que como se aprecia podemos repetir alguno de los objetos, es lo que denominamos combinaciones con repetición. Y el cómputo total será
$$CR_{n,m}=C_{n+m-1,m}$$
Observar que en este tipo de recuento es común que $n<m$.
Dos aplicaciones prácticas donde utilizamos las combinaciones:
Sean $k,n\in\mathbb{N}$. El número de soluciones enteras no negativas(es decir, $x_i\geq 0 $) de la ecuación $$x_1+x_2+\ldots+x_n=k$$ es $$CR_{n,k}=C_{n+k-1,k}$$
Sean $k,n\in\mathbb{N}$. El número de soluciones naturales (es decir, $x_i< 0 $) de la ecuación $$x_1+x_2+\ldots+x_n=k$$ es $$C_{k-1,k-n}$$
| Ejercicio: ¿Cuántas soluciones enteras positivas admite la ecuación $x+y+z=7$. |