Terminamos este apartado estudiando el caso $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=\sum_{i=1}^n f_i(x),$$ donde cada $f_i(x)$ es alguna de las funciones dadas en los casos anteriores. Este caso cumple el Teorema de superposición: Teorema. Sean $y_1$, $y_2$, …, $y_k$ soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$, $F(x,y,y’,…,y^{(n)})=0$, en un intervalo $I$, entonces la combinación lineal $$y=c_1y_1, c_2… Seguir leyendo EFM: Principio de superposición
EFM: No homogénea con funciones trigonométricas
El siguiente caso trata cuando afrontamos con funciones trigonométricas $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P_1(x)\, \cos{rx}+P_2(x)\, \sin{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^s(Q_1(x)\, \cos{rx}+Q_2(x)\, \sin{rx})$$ Quedaría ver si ocurre $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=(P_1(x)\, \cos{bx}+P_2(x)\, \sin{bx})e^{ax},$$ que en tal caso la solución particular dependería de $a+bi$, y sería de la forma $$y_p=x^s(Q_1(x)\, \cos{bx}+Q_2(x)\, \sin{bx})e^{ax}$$ Ejercicio: Resolver $y”+y= \sin 2x$,… Seguir leyendo EFM: No homogénea con funciones trigonométricas
ALG: Los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$
En este tema repasaremos nociones referentes al plano y al espacio como conjuntos de vectores. Esto nos conduce a la definición de las ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas y planos. En $\mathbb{R}^2$ (el plano), un subespacio vectorial propio vendría dado por el sistema generador de un sólo vector. Así cualquier subespacio vectorial $S\subset \mathbb{R}^2$,… Seguir leyendo ALG: Los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$
ALG: Propiedades de la matriz asociada a una aplicación
El pasado día vimos si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicación lineal $f:V\to W$, entonces $$f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.$$ Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicación analizando sus correspondientes matrices asociadas. Llamamos rango de una aplicación lineal $f$ al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si $f:V\to W$… Seguir leyendo ALG: Propiedades de la matriz asociada a una aplicación
ALG: Matriz asociada a una aplicación lineal
Dada una aplicación lineal, $f:V\to W$, entre dos espacios vectoriales definimos la matriz asociada de la aplicación respecto de una base $B_V\subseteq V$ como la matriz cuyas columnas son las coordendas respecto de otra base $B_W\subseteq W$ de las imágenes de los vectores de $B_V$; es decir, si $B_V=\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\}$, $B_W=\{\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_m\}$, y $$ \begin{matrix} f(\vec{v}_1)=k_{11}\vec{w}_1+k_{21}\vec{w}_2+k_{31}\vec{w}_3+\ldots+k_{m1}\vec{w}_m;\\ f(\vec{v}_2)=k_{12}\vec{w}_1+k_{22}\vec{w}_2+k_{32}\vec{w}_3+\ldots+k_{m2}\vec{w}_m;\\… Seguir leyendo ALG: Matriz asociada a una aplicación lineal
EFM: No homogénea con exponencial
Hoy abordamos la ecuación $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P(x)\, e^{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)\, e^{rx}$$ Ejercicio: Resolver y”+y= e^{2x}, s.a., y(0)=0, y’(0)=2 .
EFM: No homogenea con solución particular polinómica
En esta sesión de hoy hemos abordado el problema de una ED no homogénea donde la componente no homogénea es polinómica. En tal caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)$$ donde Q(x) es un polinomio del mismo grado que la componente no homogénea, y xs es el factor que dependerá de la raíz… Seguir leyendo EFM: No homogenea con solución particular polinómica
ALG: Aplicaciones lineales
Al hablar de grupos se introdujo la definición de homomorfismo y con ella la de núcleo. Ahora extendemos esta definición a espacios vectoriales para definir la aplicación lineal: un homomorfismo entre espacios vectoriales. Así diremos que una aplicación (en algunos libros le dicen Transformación) entre dos espacios vectoriales, $f:V\to W$, sobre el mismo cuerpo$\mathbb{K}$, es… Seguir leyendo ALG: Aplicaciones lineales
ALG: Cambio de base
Recordemos que todo espacio vectorial finitamente generado tiene una base. Sea $V$ nuestro $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $\mathcal{B}=\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}$, una base del mismo. Para cualquier vector de $V$, $\vec{v}\in V$, existirán unos únicos escalares $k_i\in \mathbb{K}$, tales que $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots+k_n\vec{v}_n.$$ Pues bien, a esos escalares los denominamos coordenadas de $\vec{v}$ respecto de la base $\mathcal{B}$. Así, representado… Seguir leyendo ALG: Cambio de base
ALG: Subespacios vectoriales
La definición de base del pasado día nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. Así, si $\vec{v}\in V$, donde $V$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$, decimos que $(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ son las coordenadas del $\vec{v}$ respecto de la base $B$, si $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2 \vec{v}_2+\ldots+k_n\vec{v}_n$$ Un resultado muy interesante: Un… Seguir leyendo ALG: Subespacios vectoriales