Terminamos este apartado estudiando el caso $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=\sum_{i=1}^n f_i(x),$$ donde cada $f_i(x)$ es alguna de las funciones dadas en los casos anteriores. Este caso cumple el Teorema de superposición:
Teorema. Sean $y_1$, $y_2$, …, $y_k$ soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$, $F(x,y,y’,…,y^{(n)})=0$, en un intervalo $I$, entonces la combinación lineal $$y=c_1y_1, c_2 y_2,\ldots,c_k y_k$$ en donde $c_i$, $i=1,2,\ldots,k$ son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.
La solución, por tanto, será la suma de las soluciones dadas por la soluciones homogénea y la particular obtenida de la ecuación: $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=f_i(x)$$
PAra terminar os dejo un resumen:
| Ejercicio: Resolver $y”+y= xe^x+\sin 2x$, s.a., y(0)=0, y’(0)=2. |