Hoy comenzamos el tema 6, dedicado a los sistemas de ecuaciones diferenciales. En general un sistema como
$$X’=AX+B,$$
escrito en forma matricial. A y B son una matrices de funciones, aunque nosotros nos centraremos cuando A sea una matriz de coeficientes constantes y reales.
Para tratar los Sistemas de ED necesitamos repasar el cálculo de los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C})$ la matriz cuadrada y $I$ la indentidad en $\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$.
El polinomio p(λ) = det(A – λI) es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.
Cada valor propio tiene asociado un conjunto $C_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n\}$, que se determina resolviendo el sistema homogeneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz.
Podéis ver más ejemplos en Linear Algebra/Eigenvalues and Eigenvectors.
El caso más sencillo es cuando la $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tenga $n$ valores propios todos distintos, en tal caso, la solución general será
$$X=c_1\vec{v}_1e^{\lambda_1t}+c_2\vec{v}_2e^{\lambda_2t}+\ldots+c_n\vec{v}_ne^{\lambda_nt},$$ donde $\vec{v}_i$ es el vector propio asociado al valor propio $\lambda_i$.
| Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 4 & 1\\ \end{pmatrix}X$$ |