Recordad que llevamos visto cuando todos los autovalores son distintos. Para los demás casos, empezaremos con $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, de este modo el polinómio característico de esta matriz será $p_A(\lambda)\in\mathbb{R}_2[X]$. Las soluciones dependerán de los valores propios que nos de la ecuación característica $p_A(\lambda)=0$.
Si los valores propios son distintos estamos en el caso general, visto anteriormente.
Supongamos que $\lambda_1=\lambda_2$; es decir, $p_A(\lambda)=0$, tiene un cero de multiplicidad doble y un único vector propio $\vec{v}$, entonces la solución será de la forma $$X=c_1\vec{v}e^{\lambda_1t}+c_2(\vec{v}t+\vec{u})e^{\lambda_1t},$$ donde $\vec{u}$ es un vector que tendremos que deducir con las condiciones del sistema. Para encontrar $\vec{u}$ podemos hacerlo con la ecuación $$(A-\lambda I)\vec{u}=\vec{v}$$
| Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix} -4 & -1\\ 4 & -2\\ \end{pmatrix}X$$ |