El pasado día terminamos con el Teorema fundamental de la aritmética: Teorema: Todo entero positivo se puede representar de forma única, salvo el orden, como producto de factores primos. Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy prácticas: Teorema: Sean $n,m\in \mathbb{Z}-\{-1,0,1\}$, con $n=p_1p_2\cdots p_r$ y $m=q_1q_2\cdots q_s$, sus descomposiciones en factores primos,… Seguir leyendo MAD: Teorema fundamental de la aritmética
Autor: admin
MAD: Números primos
En la clase de hoy trataremos los números primos. Llamaremos número primo a todo número entero $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$, que no tiene divisores más que el 1 y el mismo. El siguiente resultado es muy importante: Teorema: Si $p\in\mathbb{Z}$ es primo y $p|(a\,b)$, entonces, ó $p|a$ ó $p|b$ Para determinar los primos podemos utilizar la criba… Seguir leyendo MAD: Números primos
MAD: Algoritmo de Euclides
El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficiente para calcular el máximo común divisor (mcd). Se basa en el siguiente resultado: Teorema: Si $a$ y $b$ son números enteros, $$mcd(a,b)=mcd(b,r),$$ donde $r$ es el resto del algoritmo de la división para $a$ y $b$ ($a=qb+r$). Utilizando este resultado calculamos el mcd(a,b) de dos… Seguir leyendo MAD: Algoritmo de Euclides
MAD: Máximo común divisor
Comenzamos explicando El algoritmo de la división, que intenta dar consistencia al procedimiento habitual de división entre números enteros, recordando que esta no existe como tal, ya que la división no siempre existe. Sin embargo podemos dar un resultado que nos ayuda a comprender que entendemos por división en los números enteros. Teorema: Dados dos… Seguir leyendo MAD: Máximo común divisor
MAD: Divisibilidad
El concepto de divisibilidad es uno de los más importantes que veremos en Teoría de números. Con él pretendemos dar una sustitución de la división que no siempre es posible en el conjunto de los números enteros. Decimos que un número entero $b$ es divisible entre un entero $a$ (distinto de cero) si existe un… Seguir leyendo MAD: Divisibilidad
MAD: Inducción matemática
Antes de meternos de lleno en la teoría de números trataremos el tema de la Inducción matemática, una herramienta tremendamente útil para ciertos ejercicios que veremos, La inducción matemática ayuda a demostrar una proposición determinada mediante el esquema del razonamiento siguiente. Llamemos $P_n$ a la proposición, donde $n$ es el rango. Se demuestra que $P_0$,… Seguir leyendo MAD: Inducción matemática
MAD: Presentación
En la presentación del día de hoy hemos visto Presentación Objetivos de la asignatura Metodología y Evaluación Bibliografía Objetivos, Metodología y Evaluación El contenido de la asignatura está centrado en tres bloques: Teoría de números Teoría de grafos Combinatoria y Lógica En la guía se detallan en la guía de Grado podéis encontrar la metodología… Seguir leyendo MAD: Presentación
ALG: Diagonalización ortogonal
En día de hoy consideramos un caso particular de endomorfismos y matrices que se consideran son simétricos. Para ello definimos un endomorfismo simétrico. Si consideramos un espacio eunclídeo $\mathcal{E}$, con el producto escalar $\bullet$, se dice que un endomorfismo $f:\mathcal{E}\to\mathcal{E}$ es simétrico si: $$\vec{u}\bullet f(\vec{v})=\vec{v}\bullet f(\vec{u}),\quad\forall \vec{u},\vec{v}\in\mathcal{E}.$$ La característica de un endomorfismo simétrico está asociada… Seguir leyendo ALG: Diagonalización ortogonal
ALG: Diagonalización de una matriz
El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovetores de la matriz. Sea, por tanto, $A$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces La matriz $A$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica… Seguir leyendo ALG: Diagonalización de una matriz
ALG: Autovectores y subespacios propios
El pasado día vimos cómo calculábamos los autovalores, las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$p_A(\lambda)=det(A-\lambda\, I),$$ El polinomio $p_A(\lambda)$ es el polinomio característico de $A$. Cada valor propio tiene asociado un conjunto $\mathcal{C}_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n|A\vec{v}=\lambda\vec{v}\}$, que se determina resolviendo el sistema homogéneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de… Seguir leyendo ALG: Autovectores y subespacios propios