Introducimos las primeras de las técnicas básicas de conteo: la variaciones. Llamaremos variaciones de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$, al número de aplicaciones inyectivas que podemos hacer del conjunto $A$, de cardinal $m$, en el conjunto $B$, de cardinal $n$, $m\leq n$. Para calcular las variaciones utilizaremos: $$V_{n,m}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}.$$ Imaginemos que deseamos contar el… Seguir leyendo MAD: Variaciones y Permutaciones

Comenzamos la parte de Teoría combinatoria, recordando las definiciones de Conjuntos, cardinalidad, partes de un conjunto. Unión e intersección de conjuntos. Aplicaciones entre conjuntos finitos Dominio, rango e imagen. Inyectivas, sobreyectivas biyectivas Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, Juan De Burgos Román, Ingebook. Además hemos tratado los principios básicos de conteo: Principio de… Seguir leyendo MAD: Teoría combinatoria

En la última clase vimos el teorema de Euler que nos determina el inverso, cuando existe, de un elemento en $\mathbb{Z}_n$. Este teorema tenía un antecedente, que se conoce como el Teorema pequeño de Fermat: Si $a,p\in\mathbb{Z}$ con $p$ primo y $p$ no divide a $a$, entonces $$a^{p-1}\equiv 1(p)$$ Consecuentemente si dado un número $n$… Seguir leyendo MAD: Test de primalidad

Los pasados días hemos trabajado en los cimientos para abordar la ecuación de congruencias $$aX\equiv b (n)$$ Ahora podemos establecer los criterios que nos permitirán conocer cuándo existe solución: La ecuación $aX \equiv b (n)$ tiene solución si, y sólo si, el $mcd(a,n)|b$ El procedimiento más sencillo es cuando $mcd(a,n)=1$, que en cuyo caso siempre… Seguir leyendo MAD: Ecuación de congruencias

En el día de hoy hemos visto la función $\varphi $ de Euler. Esta función se define como $$\varphi (n)=|\{m\in\mathbb{Z}^+|m<n, mcd(n,m)=1\}|.$$ Esta función cumple propiedades muy interesantes, como Si $p$ es primo, $\varphi (p)=p-1$ Si $p$ es primo, $\varphi (p^\alpha)=p^{\alpha -1}(p-1)$ Si $mcd(n,m)=1$ es $\varphi (nm)=\varphi (n)\varphi (m)$ Estos resultados nos sirven para exponer el… Seguir leyendo MAD: Función φ de Euler

Uno de nuestros cometido será resolver la ecuación de congruencias $$aX\equiv b (m)$$ Para comenzar trataremos los restos potenciales; es decir, $$a^i\equiv r_i(n).$$ Estos restos cumplen las siguientes propiedades: $$\begin{align*} a^0 &\equiv 1(n) \\ a &\equiv a(n) \\ a^k&\equiv r_k(n)\Rightarrow a^{k+1}\equiv a\cdot r_k(n) \end{align*}$$ Además a partir de un resto que se repiten, se repiten… Seguir leyendo MAD: Restos potenciales

Utilicemos wiki para definir que entendemos por congruencia: un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a$ y $b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\neq 0$, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación $$a \equiv b (m).$$ Esta definición nos permitía construir… Seguir leyendo MAD: Congruencias

El pasado día introducimos las ecuaciones lineales diofánticas. En particular, abordamos la solución de la ecuación $$ax+by=c.$$ Hoy nos centramos en la ecuación $$ax+by+cz=n.$$ Como comentamos el día anterior, esta ecuación tiene solución si $m.c.d(a,b,c)|n$. En caso de tener solución podemos calcularla dependiendo de dos casos. El más sencillo es el que plantea cuando dos… Seguir leyendo MAD: Ecuaciones diofánticas de tres variables

Consideremos que tenemos un sistema de dos ecuaciones diofánticas de tres variables Con lo que hemos visto cada ecuación define una plano, que puede o no tener soluciones enteras, así el sistema dado por dos planos es una recta. Resolverlo es afrontar la ecuación diofántica de dos variables resultado de simplificar el sistema. Por ejemplo:… Seguir leyendo MAD: Sistema de ecuaciones diofánticas

Comenzamos con el tema de ecuaciones diofánticas. Recordad que llamamos ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$; es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Nosotros solo trataremos las ecuaciones diofántica lineal; es decir, la ecuación $$a_1x_1 + a_2x_2 +… Seguir leyendo MAD: Ecuaciones diofánticas