Con la idea de analizar la solución de una ED Homogénea de cualquier orden, veamos como lo hacemos con una de orden dos.
Para resolver este problema necesitamos las soluciones de la ecuación característica de la ED. Si lo vemos para $$a_2y”+a_1y’+a_0y=0,$$ resultará: $$a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0.$$
Las soluciones de esta ecuación dan la solución general. Para ello atendemos a estos criterios:
-Si tenemos dos soluciones reales y distintas $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$: $$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}.$$
-Si tenemos dos soluciones reales iguales $\lambda_1=\lambda_2\in\mathbb{R}$: $$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda_1x}.$$
-Si tenemos dos soluciones complejas $\lambda_1=\alpha+i\beta,\lambda_2=\alpha-i\beta$: $$y=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$
| Ejercicio: Encontrar de la ecuación y”+2y’+4y=0. |