Definimos una ecuación diferencia lineal homogénea de grado $n$, como una ecuación de la forma $$a_{n}(x)\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\ldots +a_1(x)y’+a_0(x)y=0.$$
En nuestro caso nos centraremos en ecuaciones donde los coeficientes $a_i(x)$ son constantes.
Para resolverlas necesitamos la ecuación característica de la ED, que se construye de la forma:
$$a_{n} \lambda^n+a_{n}\lambda^{n-1}+\ldots +a_1\lambda+a_0=0.$$
Esta es una ecuacion de coeficientes reales que se resuelve en el cuerpo de los números complejos. La solución de esta ecuación da la solución de la ED.
El caso más sencillo es cuando la ecuación característica de la ED homogénea tiene todas las soluciones reales y distintas. Entonces la ED tendrá por solución
$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}+c_3e^{\lambda_3x}+\ldots+c_ne^{\lambda_nx}.$$
| Ejercicio: Calcula la solución de la ecuación $y^{iii)}-y”+4y’-4y=0$ |