Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equipara unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia:
- Relaciones de equivalencia
- Por ejemplo “Tener el mismo resto al dividir por 5″ es una relación de equivalencia entre los números enteros.
- Leyes de composición internas(operación interna), elemento neutro,elemento simétrico.
- Un ejemplo sería el conjunto de los números reales con la operación interna, ∗, dada por a∗b=a+b−ab, preguntándonos si es una ley de composición interna; si tiene elemento neutro, simétrico…
- Otros ejemplos podéis verlos en Ley de Composicion Interna
Las definiciones de conjuntos y operaciones internas nos permiten establecer una de las estructuras básicas con las que trabajaremos: Grupo
Así definimos un grupo como una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y simétrico. Es decir, $G$ con la operación interna $\circ$, $(G,\circ)$, es un grupo sí
- $\circ$ es asociativa
- Exite $e\in G$, tal que para todo $a\in G$, es $e\circ a=a\circ e=a$
- Para todo $a\in G$, existe $b\in G$ tal que $b\circ a=a\circ b=e$
Si existe un elemento $b\in G$, tal que $b\circ a=a\circ b=e$, donde $e\in G$ es el elemento neutro de $G$, se dice que $b$ es el simétrico de $a$. En caso que utilicemos la notación aditiva, al simétrico se le designa por opuesto y se escribe como $-a$. Y si utilizamos la notación multiplicativa, al simétrico se le dice inverso y se escribe como $a^{-1}$.
Igual que hemos definido un grupo podemos definir un subgrupo, como un subconjunto en que al restringir las operaciones a sus elementos verifica las propiedades de grupos. El siguiente resultado nos lo resumen
Proposición: Sea $S\subseteq G$, donde $(G,\circ)$ es un grupo, entonces $(S,\circ)$ es un subgrupo de $(G,\circ)$ sii
$ a,b\in S\Rightarrow a\circ b^{-1}\in S$
Además definimos un homomorfismo entre grupos como una aplicación que conserva la operación interna; es decir, sean $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$ dos grupos, y $f$ una aplicación $f:G_1\to G_2$. $f$ es un homomorfismo si verifica: $$f(v*w)=f(v)\circ f(w).$$
Para este tema podéis consultar el libro
- ÁLGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook
| Ejercicio: En el conjunto $2\mathbb{Z}=\{x\in\mathbb{Z}|x=2k, k\in\mathbb{Z}\}$ se define la ley de composición interna $*$ siguiente $$x * y=x+y-(xy)/2$$ Hallar los elementos de $2\mathbb{Z}$ que poseen simétrico. |