Comenzamos con el tema de Matrices. Lo primero será definir las matrices:
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Definición
- Matriz columna, matriz fila
- Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, triángular…
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Operaciones con matrices
- Suma de matrices
- Multiplicación de escalar por matriz.
Con estas operaciones se cumple: Consideremos $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y $A,B,C\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ el conjunto de los números reales o complejos,
- $(A+B)+C=A+(B+C)$
- $A+B=B+A$
- $A+0=0+A$, siendo 0 la matriz de $m\times n$ elementos todos 0.
- Existe $B\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+B=B+A=0$, a esta matriz la llamamos opuesta de $A$ y la designamos por $-A$.
- $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
- $(\lambda + \mu)A=\lambda A+\mu A$
- $(\lambda \mu)A=\lambda (\mu A)$
Lo siguiente que hemos visto es la Multiplicación de matrices:
Dadas dos matrices $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ y $B=[b_{ij}]_{n\times p}$ definimos la multiplicación de $A$ por B, denotada por $A\cdot B,\;A\times B,\;A\circ B$ o simplemente $AB$, la matriz $C$:
$$C=AB=[c_{ij}]_{m\times p}=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\right]$$
Propiedades que cumple la multiplicación de matrices:
- $(AB)C = A(BC)$
- $(A + B)C = AC + BC$
- $C(A + B) = CA + CB$
- Si A es una matriz cuadrada de tamaño $m$, entonces la matriz identidad $I_{m\times m}$ (que llamamos identidad, o elemento neutro para la multiplicación) de manera que: $I·A = A·I = A$
- El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, $AB \neq BA$.
| Ejercicio: Probar que si $A$ y $B$ son dos matrices que se pueden multiplicar, entonces $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$. |