{"id":98,"date":"2017-11-24T09:15:43","date_gmt":"2017-11-24T08:15:43","guid":{"rendered":"http:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=98"},"modified":"2017-11-23T20:34:52","modified_gmt":"2017-11-23T19:34:52","slug":"alg-aplicaciones-lineales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/?p=98","title":{"rendered":"ALG: Aplicaciones lineales"},"content":{"rendered":"

Al hablar de grupos se introdujo la definici\u00f3n de homomorfismo<\/a> y con ella la de n\u00facleo<\/a>. Ahora extendemos esta definici\u00f3n a espacios vectoriales para definir la aplicaci\u00f3n lineal<\/a>: un homomorfismo entre espacios vectoriales. As\u00ed diremos que una aplicaci\u00f3n (en algunos libros le dicen Transformaci\u00f3n) entre dos espacios vectoriales, $f:V\\to W$, sobre el mismo cuerpo$\\mathbb{K}$, es lineal si se cumple que para todo par de vectores $\\vec{v},\\vec{u}\\in V$ y todo par de escalares $\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{K}$ se verifica que: $$f(\\lambda\\vec{v}+\\mu\\vec{u})=\\lambda f(\\vec{v})+\\mu f(\\vec{u}).$$<\/p>\n

Para este tema pod\u00e9is consultar el cap\u00edtulo 6 del libro \u00c1LGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Rom\u00e1n, ingebook<\/p>\n

Dos subespacios muy importantes ser\u00e1n el n\u00facleo y la imagen de una aplicaci\u00f3n lineal.<\/p>\n

Recordemos es dada una aplicaci\u00f3n lineal, $T$, se define el n\u00facleo<\/b> (ker) y la imagen<\/b> (Im) de $T:V\\to W$ como:<\/p>\n

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$\\operatorname{ker}(T)=\\{\\,v\\in V:T(v)=0_W\\,\\}$<\/dd>\n
$\\operatorname{Im}(T)=\\{\\,w\\in W: \\exists v\\in V:T(v)=w\\,\\}$<\/dd>\n<\/dl>\n<\/blockquote>\n

Es decir que el n\u00facleo de una aplicaci\u00f3n lineal est\u00e1 formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.<\/p>\n

El n\u00facleo de toda aplicaci\u00f3n lineal es un subespacio vectorial del dominio.<\/p>\n

Un resultado importante nos dice que si $f:V\\to W$, es lineal entre dos espacios vectoriales finitos sobre el mismo cuerpo, entonces<\/p>\n

$$dim\\,\\operatorname{Ker}(f) + dim\\,\\operatorname{Im}(f)=dim\\, V$$<\/p>\n

Las aplicaciones lineales cumplen una propiedad muy \u00fatil para calcular qui\u00e9n es el conjunto $\\operatorname{Im}(f)$:<\/p>\n

\n

Si $f:V\\to W$, es lineal, donde $B_V$ es una base de $V$, entonces $f(B_V)$ contiene una base de $\\operatorname{Im}(f)$.<\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n\n\n\n
Ejercicio:<\/strong> Estudiar si la aplicaci\u00f3n, $f(x,y,z)=(x-z.y-z,x-y)$, es lineal y determinar su n\u00facleo y su imagen.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Al hablar de grupos se introdujo la definici\u00f3n de homomorfismo y con ella la de n\u00facleo. Ahora extendemos esta definici\u00f3n a espacios vectoriales para definir la aplicaci\u00f3n lineal: un homomorfismo entre espacios vectoriales. As\u00ed diremos que una aplicaci\u00f3n (en algunos libros le dicen Transformaci\u00f3n) entre dos espacios vectoriales, $f:V\\to W$, sobre el mismo cuerpo$\\mathbb{K}$, es… Seguir leyendo ALG: Aplicaciones lineales<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[4],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/98"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=98"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/98\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":99,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/98\/revisions\/99"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=98"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=98"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=98"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}