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![\"\"](\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/matriz_cambiobase.png\")
<\/p>\nRecordemos que todo espacio vectorial finitamente generado tiene una base. Sea $V$ nuestro $\\mathbb{K}$-espacio vectorial y $\\mathcal{B}=\\{\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\}$, una base del mismo. Para cualquier vector de $V$, $\\vec{v}\\in V$, existir\u00e1n unos \u00fanicos escalares $k_i\\in \\mathbb{K}$, tales que
\n$$\\vec{v}=k_1\\vec{v}_1+k_2\\vec{v}_2+\\cdots+k_n\\vec{v}_n.$$
\nPues bien, a esos escalares los denominamos coordenadas de $\\vec{v}$ respecto de la base $\\mathcal{B}$. As\u00ed, representado mediante sus coordenadas, expresamos que
\n$$\\vec{v}=\\begin{bmatrix}k_1\\\\ k_2\\\\ \\vdots \\\\ k_n\\end{bmatrix}_\\mathcal{B}$$
\nQu\u00e9 ocurre si tenemos otra base $\\mathcal{B}’$, entonces las coordenadas de $\\vec{v}$ ser\u00e1n otras, pero habr\u00e1 una relaci\u00f3n entre ambas. Vamos a utilizar las matrices para encontrar la relaci\u00f3n entre ambas coordenadas.<\/p>\n
Cuando tenemos dos bases podemo calcular c\u00f3mo pasar de las coordenadas de una base a la otra. Para ello utilizamos la matriz del cambio de base.
\n<\/p>\n
Veamos c\u00f3mo podemos calcular esta matriz del cambio de base. S\u00f3lo tenemos que darnos cuenta como representamos los vectores respecto de cada base. Pongamos dos bases $B=\\{\\vec{v}_1,\\vec{v}_2,\\ldots,\\vec{v}_n\\}$ y $B’=\\{\\vec{u}_1,\\vec{u}_2,\\ldots,\\vec{u}_n\\}$. Que un vector cualquiera $\\vec{w}$ tenga por coordenadas $(c_1,c_2,\\ldots,c_n)_{B}$ respecto de la base $B$ significa que<\/p>\n
$$\\vec{w}=c_1\\vec{v}_1+c_2\\vec{v}_2+\\ldots+c_n\\vec{v}_n$$<\/p>\n
Si cada $\\vec{v}_i$ tiene por coordenadas respecto de una base can\u00f3nica $(v_{1i},v_{2i},\\ldots,v_{ni},)$, podemos escribir lo anterior en forma matricial:<\/p>\n
$$\\vec{w}=\\begin{bmatrix}
\nv_{11} &v_{12}&v_{13}&\\cdots &v_{1n}\\\\
\nv_{21} &v_{22}&v_{23}&\\cdots &v_{2n}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots &\\cdots & \\vdots\\\\
\nv_{n1} &v_{12}&v_{13}&\\cdots &v_{1n}\\\\
\n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}c_1\\\\c_2\\\\c_3\\\\ \\vdots \\\\c_n \\end{bmatrix}_{B}$$<\/p>\n
Del mismo modo que $\\vec{w}$ tenga por coordenadas $(c’_1,c’_2,\\ldots,c’_n)_{B’}$ respecto de la base $B’$ significa que<\/p>\n
$$\\vec{w}=c’_1\\vec{u}_1+c’_2\\vec{u}_2+\\ldots+c’_n\\vec{u}_n$$
\nEscrito en forma matricial
\n$$\\vec{w}=\\begin{bmatrix}
\nu_{11} &u_{12}&u_{13}&\\cdots &u_{1n}\\\\
\nu_{21} &u_{22}&u_{23}&\\cdots &u_{2n}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots &\\cdots & \\vdots\\\\
\nu_{n1} &u_{12}&u_{13}&\\cdots &u_{1n}\\\\
\n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}c’_1\\\\c’_2\\\\c’_3\\\\ \\vdots \\\\c’_n \\end{bmatrix}_{B’}$$<\/p>\n
La igualdad de ambos productos nos ofrece la posibilidad de conocer las coordenadas de un vector una base respecto de la otra:<\/p>\n
$$\\begin{bmatrix}
\nv_{11} &v_{12}&v_{13}&\\cdots &v_{1n}\\\\
\nv_{21} &v_{22}&v_{23}&\\cdots &v_{2n}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots &\\cdots & \\vdots\\\\
\nv_{n1} &v_{12}&v_{13}&\\cdots &v_{1n}\\\\
\n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}c_1\\\\c_2\\\\ \\vdots \\\\c_n \\end{bmatrix}_{B}=\\begin{bmatrix}
\nu_{11} &u_{12}&u_{13}&\\cdots &u_{1n}\\\\
\nu_{21} &u_{22}&u_{23}&\\cdots &u_{2n}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots &\\cdots & \\vdots\\\\
\nu_{n1} &u_{12}&u_{13}&\\cdots &u_{1n}\\\\
\n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}c’_1\\\\c’_2\\\\ \\vdots \\\\c’_n \\end{bmatrix}_{B’}$$
\nSi el sistema matricial lo escribimos as\u00ed: $P\\, C_{B}=Q\\,C’_{B’}$, tendremos
\n$$C_{B}=(P^{-1}Q)\\,C’_{B’},$$ o $$(Q^{-1}P)\\,C_{B}=C’_{B’}.$$<\/p>\n
A la matriz $Q^{-1}P$, la llamamos matriz del cambio de bases de $B$ a $B’$, y la notamos como $$C_{BB’}=Q^{-1}P.$$
\nComo se observa $C_{B’B}$ es la inversa de $C_{BB’}$.<\/p>\n
Para calcular la matriz del cambio de bases podemos utilizar un resultado que nos dice: si a la matriz ampliada $[Q|P]$ le hacemos transformaciones elementales por fila, de modo que obtengamos
\n$$[Q|P]\\to [I_n|C],$$
\nentonces la matriz $C=C_{BB’}$.<\/p>\n
<\/p>\n