La definici\u00f3n de base del pasado d\u00eda nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. As\u00ed, si $\\vec{v}\\in V$, donde $V$ es un $\\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y $B=\\{\\vec{v}_1,\\vec{v}_2,\\ldots,\\vec{v}_n\\}$, decimos que $(k_1,k_2,\\ldots,k_n)$ son las coordenadas del $\\vec{v}$ respecto de la base $B$, si $$\\vec{v}=k_1\\vec{v}_1+k_2 \\vec{v}_2+\\ldots+k_n\\vec{v}_n$$<\/p>\n
Un resultado muy interesante:<\/p>\n
\n\nUn conjunto de $m$ vectores de $V$, $\\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., es libre sii el rango de la matriz cuyas filas son las coordenadas de los $m$ vectores es $m$.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n
En consecuencia:<\/p>\n
\n\nDado un conjunto de $m$ vectores de $V$, $\\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y dada $M$ la matriz cuyas filas son las coordenadas de los $m$ vectores, respecto de la misma base. Sea $M^*$ la matriz semejante escalonada, entonces los escalones no cero se corresponde a los vectores de la matriz $M$ linealmente independientes, y los escalones cero se corresponde a los vectores linealmente dependientes del resto.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n
Un subespacio vectorial<\/strong> es un subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por s\u00ed mismo la definici\u00f3n de espacio vectorial con las mismas operaciones que en el espacio vectorial.<\/p>\n
Un resultado pr\u00e1ctico que nos ayudar\u00e1 a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:<\/p>\n
\n\nSi $V$ es un $\\mathbb{K}$-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vac\u00edo $S$ de $V$ es un subespacio vectorial si y s\u00f3lo si para cualesquiera dos vectores $\\vec{v}, \\vec{w}\\in S$ y cualesquiera escalares $\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{K}$, pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector $\\lambda\\vec{v}+\\mu\\vec{w}\\in S$.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n
Un subespacio interesante es el sistema generador de un conjunto de vectores: dados $\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\in V$ definimos el sistema generador como $$<\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>=\\{k_1\\vec{v}_1+\\cdots+k_n\\vec{v}_n\\in V; k_i\\in \\mathbb{K}\\}$$
\nEs sencillo probar que es un subespacio vectorial de $V$. <\/p>\nRecordemos que todo sistema generador contiene una base; con lo cual, conseguir una base de un subespacio es tan f\u00e1cil como hallar un sistema generador del subespacio y reducir los vectores hasta conseguir que formen un sistema libre. <\/p>\n
Estudiamos la uni\u00f3n de dos subespacios<\/strong>. En la gran mayor\u00eda de los casos la uni\u00f3n de dos subespacios no es un subespacio, pues no se cumple con la ley de composici\u00f3n interna. S\u00ed lo ser\u00e1 cuando uno de los subespacios est\u00e1 contenido en el otro. La manera de verlo es estudiando el rango de la matriz que formamos con los vectores de las bases de ambos subespacios: si el rango de esa matriz coincide con la dimensi\u00f3n de uno de los subespacios, entonces si se cumple que uno de ellos est\u00e1 contenido en el otro.<\/p>\n
Hemos tratado las posibilidades que se presenta cuando tenemos dos subespacios vectoriales del mismo K-espacio vectorial. As\u00ed si $S$ y $T$ son subespacios de $V$ $K$-e.v.f.g., podemos encontrar $S\\cup T$, $S\\cap T$, $S+T$.<\/p>\n
Recordemos que la uni\u00f3n de subespacios no tiene por qu\u00e9 ser un subespacio, de hecho solo lo ser\u00e1 si uno est\u00e1 contenido en el otro ($S\\subseteq T$ \u00f3 $T\\subseteq S$).<\/p>\n
En el caso de $S\\cap T$ y $S+T$ siempre son subespacios vectoriales (pruebese).<\/p>\n
En el caso de una suma $S+T$ puede darse el caso que sea directa si, y solo si, $S\\cap T=\\vec{0}$, en ese caso suele indicarse como $S\\oplus T$.<\/p>\n
Un caso particular son los subespacios suplementarios, aquellos $S\u2019$ tales que dado un subespacio $S\\subseteq V$ $K$-e.v.f.g., cumple que $S\\oplus S\u2019=V$. En tal caso, decimos que $S\u2019$ es suplementario de $S$, y viceversa.<\/p>\n
Para terminar enunciamos la f\u00f3rmula de las dimensiones, o f\u00f3rmula de Gassman, que nos permite afirmar que<\/p>\n
$$dim(S)\\, +\\, dim(T)=dim(S+T)\\,+\\, dim(S\\cap T).$$<\/p>\n