Con la idea de analizar la soluci\u00f3n de una ED Homog\u00e9nea de cualquier orden, veamos como lo hacemos con una de orden dos.<\/p>\n
Para resolver este problema necesitamos las soluciones de la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica de la ED. Si lo vemos para $$a_2y\u201d+a_1y\u2019+a_0y=0,$$ resultar\u00e1: $$a_2\\lambda^2+a_1\\lambda+a_0=0.$$<\/p>\n
Las soluciones de esta ecuaci\u00f3n dan la soluci\u00f3n general. Para ello atendemos a estos criterios:<\/p>\n
-Si tenemos dos soluciones reales y distintas $\\lambda_1,\\lambda_2\\in\\mathbb{R}$: $$y=c_1e^{\\lambda_1x}+c_2e^{\\lambda_2x}.$$<\/p>\n
-Si tenemos dos soluciones reales iguales $\\lambda_1=\\lambda_2\\in\\mathbb{R}$: $$y=(c_1+c_2x)e^{\\lambda_1x}.$$<\/p>\n
-Si tenemos dos soluciones complejas $\\lambda_1=\\alpha+i\\beta,\\lambda_2=\\alpha-i\\beta$: $$y=c_1e^{\\alpha x}\\cos(\\beta x)+c_2e^{\\alpha x}\\sin(\\beta x).$$<\/p>\n