Definimos una ecuaci\u00f3n diferencia lineal homog\u00e9nea de grado $n$, como una ecuaci\u00f3n de la forma $$a_{n}(x)\\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n}(x)\\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\\ldots +a_1(x)y\u2019+a_0(x)y=0.$$<\/p>\n
En nuestro caso nos centraremos en ecuaciones donde los coeficientes $a_i(x)$ son constantes.<\/p>\n
Para resolverlas necesitamos la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica de la ED, que se construye de la forma:
\n$$a_{n} \\lambda^n+a_{n}\\lambda^{n-1}+\\ldots +a_1\\lambda+a_0=0.$$
\nEsta es una ecuacion de coeficientes reales que se resuelve en el cuerpo de los n\u00fameros complejos. La soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n da la soluci\u00f3n de la ED. <\/p>\n
El caso m\u00e1s sencillo es cuando la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica de la ED homog\u00e9nea tiene todas las soluciones reales y distintas. Entonces la ED tendr\u00e1 por soluci\u00f3n
\n$$y=c_1e^{\\lambda_1x}+c_2e^{\\lambda_2x}+c_3e^{\\lambda_3x}+\\ldots+c_ne^{\\lambda_nx}.$$<\/p>\n