{"id":73,"date":"2017-11-17T09:15:47","date_gmt":"2017-11-17T08:15:47","guid":{"rendered":"http:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=73"},"modified":"2017-11-17T09:24:18","modified_gmt":"2017-11-17T08:24:18","slug":"alg-espacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/?p=73","title":{"rendered":"ALG: Espacios vectoriales"},"content":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de<a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Espacio_vectorial\" target=\"_blank\"> Espacio Vectorial<\/a> sobre un cuerpo.<\/p>\n<p>As\u00ed definimos el espacio vectorial y el subesapcio vectorial, y uno en particular, $\\mathbb{R}^n$. Haremos hincapi\u00e9 en:<\/p>\n<ul>\n<li>Sistema generador<\/li>\n<li>Combinaci\u00f3n lineal<\/li>\n<li>Dependencia lineal<\/li>\n<li>Base<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para este tema pod\u00e9is consultar el libro<br \/>\n\u00c1LGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Rom\u00e1n, ingebook<\/p>\n<p>nos planteamos si un vector cualesquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjuntos de vectores del sistema. <\/p>\n<p>Cualquier vector perteneciente a un sistema generador,$\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>$ decimos que es combinaci\u00f3n lineal de los vectores del sistema. En general, un vector $\\vec{v}$ decimos que es combinaci\u00f3n lineal de un conjunto de vectores $\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n$,<br \/>\n$$\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>$$<\/p>\n<p>Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, $\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\in V$ , decimos que es libre si ning\u00fan vector es combinaci\u00f3n vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los \u00fanicos escalares, $k_1,k_2,&#8230;,k_n\\in\\mathbb{K}$, tales que justifican,<br \/>\n$$k_1\\vec{v}_1+\\cdots +k_n \\vec{v}_n=\\vec{0},$$<br \/>\nson $k_1=k_2=\\ldots=k_n=0$.<\/p>\n<p>Indistintamente decimos sistema libre o vectores linealmente independientes. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos linealmente dependientes; es decir, alg\u00fan vector es combinaci\u00f3n lineal de los otros.<\/p>\n<p>Dentro de los espacio vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos, los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que adem\u00e1s son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos base de un espacio vectorial: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es<\/p>\n<ul>\n<li>sistema generador, y<\/li>\n<li>linealmente independiente<\/li>\n<\/ul>\n<p>Al n\u00famero de vectores de una base de denominamos dimensi\u00f3n del espacio vectorial. Recordemos que siempre estamos tratando con $\\mathbb{K}$-e.v finitamente generados.<\/p>\n<p>Uno de los principales resultados es que en todo $\\mathbb{K}$-e.v finitamente generados podemos encontrar una base. As\u00ed, pues, en un $\\mathbb{K}$-e.v finitamente generado de dimensi\u00f3n $n$ un conjunto de $n$ vectores linealmente independiente siempre son base. Adem\u00e1s la base no tiene por qu\u00e9 ser \u00fanica.<\/p>\n<table id=\"yzpi\" width=\"677\" border=\"0\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong>Probar que en el espacio vectorial sobre los reales de las funciones continuas, $\\mathcal{C}[0,\\pi]$, conjunto $C=\\{f(x)=x^2,g(x)=e^x,h(x)=\\sin(x)\\}$ es un sistema libre.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. 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