El pasado d\u00eda se introdujo los grupos, hoy hablaremos de Anillos y Cuerpos.<\/p>\n
Un anillo es una terna (A, +, \u2022), donde A es un conjunto no vac\u00edo y + y \u2022 son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y \u2022 es una operaci\u00f3n asociativa y distributiva bil\u00e1tera respecto de +. Suele denominarse \u00absuma\u00bb y \u00abproducto\u00bb a las operaciones + y \u2022, respectivamente. En esta convenci\u00f3n, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como \u2013a.<\/p>\n
El producto en un anillo no necesariamente tiene una operaci\u00f3n inversa definida. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina \u00abanillo conmutativo\u00bb. Adem\u00e1s, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario ya que, en este caso, se emplea el n\u00famero 1 para designar al elemento neutro del producto.<\/p>\n
Un cuerpo es un anillo en el cual existe un elemento neutro y el inverso para el producto.<\/p>\n
Comentando anillo como $\\mathbb{R}[X]$,el anillo de los polinomios de coeficientes reales. En este anillo vemos como podemos definir cero de un polinomio y determinar la factorizaci\u00f3n de todo polinomio real en polinomios de 1 o 2 grados.<\/p>\n
Viendo el anillo $\\mathbb{C}[X]$, enunciamos el teorema fundamental del \u00e1lgebra. Llegando a la conclusi\u00f3n que todo polinomio real puede tener ra\u00edces reales y complejas, apareciendo estas por pares cuando las hay. Una de las conclusiones obtenidas es que todo polinomio real de grado impar tiene, al menos, una ra\u00edz real.<\/p>\n
La definici\u00f3n de un homomorfismo entre grupos podemos extenderla a un anillo. Un homomorfismo de anillos ser\u00e1 una aplicaci\u00f3n $f:(A_1,+,\\cdot)\\to (A_2,\\oplus,*)$ que verifica:
\n$$
\n\\begin{array}{ll}
\ni) & f(v+w)=f(v)\\oplus f(w)\\\\
\nii) & f(v\\cdot w)=f(v) * f(w)
\n\\end{array}
\n$$<\/p>\n
Para este tema pod\u00e9is consultar el libro<\/p>\n
Adem\u00e1s aqu\u00ed dispon\u00e9is de link instructivos:<\/p>\n
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