Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar caracter\u00edsticas que puedan equipara unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composici\u00f3n interna, u operaci\u00f3n interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia:<\/p>\n
Las definiciones de conjuntos y operaciones internas nos permiten establecer una de las estructuras b\u00e1sicas con las que trabajaremos: Grupo<\/p>\n
As\u00ed definimos un grupo como una estructura algebraica formada por un conjunto no vac\u00edo dotado de una operaci\u00f3n interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y sim\u00e9trico. Es decir, $G$ con la operaci\u00f3n interna $\\circ$, $(G,\\circ)$, es un grupo s\u00ed<\/p>\n
Si existe un elemento $b\\in G$, tal que $b\\circ a=a\\circ b=e$, donde $e\\in G$ es el elemento neutro de $G$, se dice que $b$ es el sim\u00e9trico de $a$. En caso que utilicemos la notaci\u00f3n aditiva, al sim\u00e9trico se le designa por opuesto y se escribe como $-a$. Y si utilizamos la notaci\u00f3n multiplicativa, al sim\u00e9trico se le dice inverso y se escribe como $a^{-1}$.<\/p>\n
Igual que hemos definido un grupo podemos definir un subgrupo, como un subconjunto en que al restringir las operaciones a sus elementos verifica las propiedades de grupos. El siguiente resultado nos lo resumen<\/p>\n
Proposici\u00f3n:<\/em><\/strong> Sea $S\\subseteq G$, donde $(G,\\circ)$ es un grupo, entonces $(S,\\circ)$ es un subgrupo de $(G,\\circ)$ sii
\n$ a,b\\in S\\Rightarrow a\\circ b^{-1}\\in S$\n<\/p><\/blockquote>\nAdem\u00e1s definimos un homomorfismo entre grupos como una aplicaci\u00f3n que conserva la operaci\u00f3n interna; es decir, sean $(G_1,*)$ y $(G_2,\\circ)$ dos grupos, y $f$ una aplicaci\u00f3n $f:G_1\\to G_2$. $f$ es un homomorfismo si verifica: $$f(v*w)=f(v)\\circ f(w).$$<\/p>\n
Para este tema pod\u00e9is consultar el libro<\/p>\n
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- \u00c1LGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Rom\u00e1n, ingebook<\/li>\n<\/ul>\n