p>El pasado d\u00eda dec\u00edamos que la ecuaci\u00f3n diferencial $P( x, y)\\, dx + Q(x, y)\\, dy = 0$ era exacta si $\\frac{\\partial P}{\\partial y}=\\frac{\\partial Q}{\\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada funci\u00f3n, $\\mu$, verifique $$\\frac{\\partial \\mu P}{\\partial y}=\\frac{\\partial \\mu Q}{\\partial x}.$$<\/p>\n
A esta funci\u00f3n $\\mu$, la denominamos factor integrante. A veces, el uso de factores integrantes nos ayudan a simplificar una ecuaci\u00f3n diferencial (ED). En general la transformamos en una ED exacta o en una ED de variables separadas.<\/p>\n
Esta t\u00e9cnica nos permite resolver la ED<\/p>\n
$$\\begin{cases} y\u2019+P(x)y = Q(x)\\\\ y(x_0) = y_0 \\end{cases}$$<\/p>\n
Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $[a,b] \\subseteq \\mathbb{R}$.<\/p>\n
Si utilizamos el factor integrante<\/p>\n
$$e^{\\int_{x_0}^x P(x) dx }, $$<\/p>\n
la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n viene dada por:<\/p>\n
$$y(x) =e^{ \u2013 \\int_{x_0}^x P(x) dx } \\left[ y_0 + \\int_{x_0}^x Q(x) e^{ \\int P(x) dx } dx \\right]$$<\/p>\n
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