El pasado d\u00eda dec\u00edamos que la ecuaci\u00f3n diferencial $P( x, y)\\, dx + Q(x, y)\\, dy = 0$ era exacta si $\\frac{\\partial P}{\\partial y}=\\frac{\\partial Q}{\\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada funci\u00f3n, $\\mu$, verifique $$\\frac{\\partial \\mu P}{\\partial y}=\\frac{\\partial \\mu Q}{\\partial x}.$$<\/p>\n
A esta funci\u00f3n $\\mu$, la denominamos factor integrante. A veces, el uso de factores integrantes nos ayudan a simplificar una ecuaci\u00f3n diferencial (ED). En general la transformamos en una ED exacta o en una ED de variables separadas.<\/p>\n
Ahora lo que tenemos que hacer es plantear c\u00f3mo encontrar los factores integrantes. En clase hemos visot unos m\u00e9todos. Os dejo otros aqu\u00ed.<\/p>\n
Cuando $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ sean homog\u00e9neas del mismo grado y $xP+yQ\\neq 0$ entonces un factor integrante ser\u00e1 $$\\mu=\\frac{1}{xP+yQ}.$$<\/p>\n
Si (1) puede escribirse en la forma: $yf(x,y)dx+xg(x,y)dy=0$, con $f(x,y)\\neq g(x,y)$, ser\u00e1 factor integrante $$\\mu=\\frac{1}{xP-yQ}.$$<\/p>\n
Si (1) puede escribirse en la forma: $f_1(x)g_2(y)dx+f_2(x)g_1(y)dy=0$, entonces ser\u00e1 factor integrante $$\\mu=\\frac{1}{f_2(x)g_2(y)}.$$<\/p>\n