Decimos que la ecuaci\u00f3n diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\\frac{\\partial P}{\\partial y}=\\frac{\\partial Q}{\\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendr\u00e1 como soluci\u00f3n $u(x,y)=c$. <\/p>\n
Para encontrar la soluci\u00f3n podemos ver que se cumplir\u00e1$$\\frac{\\partial u}{\\partial x}=P,$$
\ny, por tanto,$$u(x,y)=\\int P(x,y)\\,dx+g(y).$$<\/p>\n
Ahora necesitamos conocer qui\u00e9n ser\u00e1 $g(y)$, para ello utilizamos que
\n$$\\frac{\\partial u}{\\partial y}=Q,\\mbox{ y }\\frac{\\partial u}{\\partial y}=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\int P(x,y)\\,dx\\right)+g’(y),$$
\nluego
\n$$Q(x,y)=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\int P(x,y)\\,dx\\right)+g’(y).$$
\nEs decir,
\n$$g(y)=\\int Q(x,y)\\,dy-\\int\\left(\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\int P(x,y)\\,dx\\right)\\right)\\,dy$$
\nYa solo nos resta sustituir en
\n$$u(x,y) = \\int P(x,y)\\,dx+g(y)$$
\ne igualarlo a una constante.<\/p>\n
Si ahora lo que deseamos es encontrar la soluci\u00f3n a un problema de valor inicial con $y(x_0)=y_0$, para la soluci\u00f3n $u(x,y)=c$, ser\u00e1:<\/p>\n
$$u(x,y) = \\int_{x_0}^x P(t,y) \\mathrm{d}t + \\int_{y_0}^y Q(x_0,t)\\mathrm{d}t.$$<\/p>\n
Si adem\u00e1s $Q(x_0,y_0)\\neq 0$, entonces el problema de valor inicial
\n$$\\left\\{\\begin{array}{ll} P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, \\\\ y(x_0)=y_0, \\end{array}\\right.$$ tiene soluci\u00f3n \u00fanica, que est\u00e1 definida por la ecuaci\u00f3n $u(x,y)=0$.<\/p>\n
Pod\u00e9is ver esto y lo del d\u00eda anterior en el siguiente enlace<\/a>.<\/p>\n