En el d\u00eda de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\\in \\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{R} o \\mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\\in \\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{R} o \\mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$<\/p>\n
El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conoc\u00e9is como m\u00e9todo de Gauss. Ser\u00eda el siguiente: Sea $A$ la matriz, y consideremos la matriz formada por $[A\\, |\\, I_n]$. Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que<\/p>\n
$$[A\\, |\\, I_n] \\sim [I_n\\, |\\, B],$$<\/p>\n
entonces $B$ es la inversa de $A$.<\/p>\n
No siempre podemos conseguir la inversa, bien por que la matriz no sea cuadrada o por que no tenga. Entonces tenemos que plantearnos la posibilidad de encontrar una matriz, para cualquier matriz $A\\in\\mathcal{M}_{m\\times n}(\\mathbb{R})$, talque
\n$$AR=I_m$$ o $$LA=I_n.$$
\nEn caso de existir, denominamos a $R\\in\\mathcal{M}_{n\\times m}(\\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la derecha de la matriz $A$; y a $L\\in\\mathcal{M}_{n\\times m}(\\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la izquierda de la matriz $A$.<\/p>\n
Un resultado que utilizaremos:<\/p>\n
\nUna matriz $A\\in\\mathcal{M}_{m\\times n}(\\mathbb{R})$ tiene pseudoinversa por la derecha(izquierda) si, y s\u00f3lo si, $rang(A)=m$ ($rang(A)=n$)<\/p>\n<\/blockquote>\n
En caso de existir la pseudoinversa, entonces esta la calcularemos mediante $$R=A^t(AA^t)^{-1},$$
\no
\n$$L=(A^tA)^{-1}A^t.$$<\/p>\n