Siguiendo con los m\u00e9todos de resolver ED, definimos las funciones homog\u00e9neas.<\/p>\n
Una funci\u00f3n $f: D \\subset \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}$, se se dice homog\u00e9nea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \\in D$.<\/p>\n
Utilizando las funciones homog\u00e9neas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la funci\u00f3n $f(x,y)$ es homog\u00e9nea de grado cero, entonces el cambio de variable $y=ux$ la reduce a una ecuaci\u00f3n diferencial en variables separadas. As\u00ed obtendr\u00edamos la ecuaci\u00f3n
\n$$\\frac{du}{f(1,u)-u}=\\frac{dx}{x}$$<\/p>\n
Cuando tenemos dos funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ homog\u00e9neas del mismo grado resulta que la ED $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$$ se puede expresar como $$\\frac{dy}{dx}=f(x,y)=-\\frac{M(x,y)}{N(x,y)},$$ siendo $f(x,y)$ homog\u00e9nea de grado 0. Por tanto, la podemos considerar una ED de variables separables, $y=xu$, teniendo
\n$$x\\frac{du}{dx}=-\\frac{M(1,u)}{N(1,u)}-u.$$<\/p>\n
En tal caso,$$\\frac{dx}{x}+\\frac{N(1,u)du}{M(1,u)+uN(1,u)}=0,$$ nos sirve para determinar la soluci\u00f3n de la ED<\/p>\n