Hoy hemos recordado la definici\u00f3n del conjunto de las permutaciones $S_n$, donde un elemento ser\u00e1 de la forma:
\n$$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{cccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\cdots & n\\\\ \\sigma_1 & \\sigma_2 & \\sigma_3 & \\sigma_4 & \\sigma_5 \\cdots & \\sigma_n \\end{array}\\right) .$$
\nSiendo $\\sigma_i\\in I=\\{1,2,3,4,…,n\\}$ y de modo que $\\sigma_i\\neq \\sigma_j\\forall i\\neq j$.
\nHemos visto que $S_n$ con la operaci\u00f3n composici\u00f3n de permutaciones, $\\circ$, le confiere una estructura de grupo; $(S_n,\\circ)$ es un grupo.<\/p>\n
Definimos un desarreglo como una permutaci\u00f3n $\\sigma\\in S_n$ talque $\\sigma_i\\neq i\\forall i\\in I$. El prop\u00f3sito de la clase de hoy ha sido contar el n\u00famero de desarreglos que podemos encontrar en el conjunto $S_n$.<\/p>\n
Para vuestra ayuda consultar Derangement<\/a>.<\/p>\n Terminamos los contenidos de la Teor\u00eda Combinatoria con la inclusi\u00f3n del estudios de las particiones.<\/p>\n Una partici\u00f3n<\/b> del conjunto A<\/i> es una familia P<\/i> de subconjuntos no vac\u00edos de A<\/i>, disjuntos dos a dos, cuya uni\u00f3n es A<\/i>. Es decir, $P= \\{A_i: i\\in I\\}$, donde se cumple:<\/p>\n El n\u00famero de particiones posibles para un conjunto finito s\u00f3lo depende de su cardinal $n$, y se llama el n\u00famero de Bell, $B_n$. Los primeros n\u00fameros de Bell son B<\/i>0<\/sub> = 1, B<\/i>1<\/sub> = 1, B<\/i>2<\/sub> = 2, B<\/i>3<\/sub> = 5, B<\/i>4<\/sub> = 15, B<\/i>5<\/sub> = 52, B<\/i>6<\/sub> = 203, …<\/p>\n Los n\u00fameros de Bell cumplen una relaci\u00f3n derecurrencia muy interesante: Un caso particular de contar particones son los n\u00fameros de Stirling de segunda especie: Este resultado nos da pie a contar las aplicaciones suprayecivas entre dos conjuntos finitos.<\/p>\n Teorema:<\/strong> Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de cardinal $n$ y $m$ respectivamente. El n\u00famero de aplicaciones suprayectivas de $A$ en $B$ es de $$m!S(n,m).$$\n<\/p><\/blockquote>\n\n
\n
\n$$B_n=\\sum_{k=0}^{n-1}B_k\\binom{n-1}{k}$$<\/p>\n
\n$$S(n,k)=\\frac{1}{k!}\\sum_{i=0}^k(-1)^i\\binom{k}{i}(k-i)^n.$$ <\/p>\n