f\u00f3rmula de Leibniz<\/a>: Dados $m$ enteros y un natural $n$, se tiene
\n$$(x_1 + x_2 + \\cdots + x_m)^n = \\sum_{k_1+k_2+\\cdots+k_m=n} {n \\choose k_1, k_2, \\ldots, k_m} \\prod_{1\\le t\\le m}x_{t}^{k_{t}}$$<\/p>\nAqu\u00ed definimos los coeficientes multinomiales como
\n$$
\n{n \\choose k_1, k_2, \\ldots, k_m} =\\frac{n!}{k_1!\u00b7 k_2! \\cdots k_m!}
\n$$
\ndonde $k_1+ k_2+ \\ldots+ k_m=n$. Recordad que esto era equivalente a las permutaciones con repetici\u00f3n donde se repet\u00edan determinados elementos un determinado numero de veces.<\/p>\n
Otro equivalente que podemos encontrar son los coeficientes $\\left(\\!\\!{n \\choose m}\\!\\!\\right)$ que hacen referencia a las combinaciones con repetici\u00f3n:
\n$$\\left(\\!\\!\\!\\!{n \\choose m}\\!\\!\\!\\!\\right)={n+m-1 \\choose m}$$<\/p>\n
Esto nos da pie a deducir que el n\u00famero de coeficientes multinomiales de la f\u00f3rmula de Leibniz es
\n$${n+m-1 \\choose m-1}$$ que es coincidente con
\n$${n+m-1 \\choose m-1}=\\left(\\!\\!\\!\\!{m \\choose n}\\!\\!\\!\\!\\right)={m+n-1 \\choose n},$$
\nya que se corresponde con todos los posibles monomios $x_1^{k_1} \\cdot x_2^{k_2} \\cdots x_m^{k_m}$
\nOtra deducci\u00f3n observamos si consideramos $x_1 = x_2 = \\cdots = x_m=1$, en tal caso la suma de los coeficientes multinomiales de la f\u00f3rmula de Leibniz es
\n$$\\sum_{k_1+k_2+\\cdots+k_m=n} {n \\choose k_1, k_2, \\ldots, k_m}=m^n$$<\/p>\n