Introducimos las primeras de las t\u00e9cnicas b\u00e1sicas de conteo: la variaciones. Llamaremos variaciones de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$, al n\u00famero de aplicaciones inyectivas que podemos hacer del conjunto $A$, de cardinal $m$, en el conjunto $B$, de cardinal $n$, $m\\leq n$. Para calcular las variaciones utilizaremos:<\/p>\n
$$V_{n,m}=n(n-1)(n-2)\\cdots(n-m+1)=\\frac{n!}{(n-m)!}.$$<\/p>\n
Imaginemos que deseamos contar el total de aplicaciones posibles, entonces se plantean las variaciones con repetici\u00f3n. Llamaremos variaciones con repetici\u00f3n de $m$ (0<$m$) elementos de un conjunto de $n$ elementos (0<$n$) al n\u00famero $$VR_{n,m}=n^m,$$ y se corresponde con las aplicaciones de un conjunto de $m$ elementos de un conjunto de $n$ elementos.\n\nLlamaremos permutaciones de un conjunto de $n$ elementos (0<$n$) al n\u00famero $$P_n=n!,$$ y se corresponde con las aplicaciones biyectivas de un conjunto de $n$ elementos sobre un subconjunto de $\\mathbb{N}$ del mismo cardinal.\n\nOtra forma de definir la permutaci\u00f3n de un conjunto de $n$ elementos es como una siposici\u00f3n ordenada de los elementos $n$ elementos. Esa disposici\u00f3n la podemos representar como una $n$-tupla. Si una $n$-tupla circular la entendemos como la $n$-tupla donde hemos unido el inicio con el fin, podemos considerar una permutaci\u00f3n circualr como una $n$-tupla circular, donde dos permutaciones circulares son iguales si cada elemento tiene a derecha e izquierda los mismos compa\u00f1eros. De esta forma, En n\u00famero de permutaciones circulares que podemos hacer con un conjunto de $n>0$ elementos es $$PC_n=P_{n-1}=(n-1)!.$$<\/p>\n
Por \u00faltimo podemos considerar una permutaci\u00f3n de los elementos de un conjunto donde se repiten alguno de ellos. Una permutaci\u00f3n con repetici\u00f3n de un conjunto $A=\\{x_i;i=1,…,n\\}$, quedar\u00e1 identificada por una disposici\u00f3n de la forma
\n$$(x_1,\\overset{\\underbrace{r_1}}{\\ldots},x_1,x_2,\\overset{\\underbrace{r_2}}{\\ldots},x_2,\\ldots,x_n,\\overset{\\underbrace{r_n}}{\\ldots},x_n)$$
\ndonde $r_1+r_2+\\ldots+r_n\\in\\mathbb{N}$ determina el n\u00famero de elementos totales. En ese caso el n\u00famero total de permutaci\u00f3n con repetici\u00f3n del conjunto $A$, donde cada elemento $x_i\\in A$ sae repite $r_i\\mathbb{N}$ veces es
\n$$PR_{r_1+r_2+\\ldots+r_n}^{r_1,r_2,\\ldots,r_n}=\\frac{(r_1+r_2+\\ldots+r_n)!}{r_1!\\,r_2!\\,\\ldots\\,r_n!}.$$<\/p>\n