{"id":234,"date":"2018-03-08T08:45:41","date_gmt":"2018-03-08T07:45:41","guid":{"rendered":"http:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=234"},"modified":"2018-03-06T10:20:13","modified_gmt":"2018-03-06T09:20:13","slug":"mad-teorema-fundamental-de-la-aritmetica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/?p=234","title":{"rendered":"MAD: Teorema fundamental de la aritm\u00e9tica"},"content":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda terminamos con el Teorema fundamental de la aritm\u00e9tica:<\/p>\n<blockquote><p><strong>Teorema<\/strong>: Todo entero positivo se puede representar de forma \u00fanica, salvo el orden, como producto de factores primos.<\/p><\/blockquote>\n<p>Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy pr\u00e1cticas:<\/p>\n<blockquote><p><strong>Teorema<\/strong>: Sean $n,m\\in \\mathbb{Z}-\\{-1,0,1\\}$, con $n=p_1p_2\\cdots p_r$ y $m=q_1q_2\\cdots q_s$, sus descomposiciones en factores primos, y $u_j\\in\\{-1,1\\}\\forall j\\in\\mathbb{N}$. Entonces $$n|m\\Leftrightarrow \\forall i\\in\\{1,\\ldots, r\\}\\exists j\\in\\{1,\\ldots, r\\}\\,|\\, p_i=q_ju_j$$<\/p><\/blockquote>\n<p>Adem\u00e1s podemos obtener las siguientes propiedades:<\/p>\n<blockquote><p><strong>Teorema<\/strong>: Sean $n\\in \\mathbb{Z}^+$, con $n=p_1^{\\alpha_1}p_2^{\\alpha_2}\\cdots p_r^{\\alpha_r}$ la descomposici\u00f3n en factores primos con $p_i\\neq p_j\\forall j\\neq i,\\alpha_i\\in\\mathbb{N}\\forall i\\in\\{1,\\ldots, r\\}$. Entonces<\/p>\n<ul>\n<li><em>(Divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> los divisores de $n$ son los t\u00e9rminos del producto $$(1+p_1+p_1^2+\\ldots+p_1^{\\alpha_1})\\cdots(1+p_r+p_r^2+\\ldots+p_r^{\\alpha_r})$$<\/li>\n<li><em>(N\u00famero de divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> $$(\\alpha_1+1)(\\alpha_2+1)\\cdots(\\alpha_r+1)$$<\/li>\n<li><em>(Suma de los divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> $$\\frac{p_1^{\\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\\,\\frac{p_2^{\\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\\cdots\\frac{p_r^{\\alpha_r+1}-1}{p_r-1}$$<\/li>\n<li><em>(Producto de los divisores de un n\u00famero compuesto)<\/em> el producto de los divisores de $n$ es $\\sqrt{n^k}$ siendo $k$ el n\u00famero de divisores de $n$.<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> Calcular todos los divisores del n\u00famero 324<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda terminamos con el Teorema fundamental de la aritm\u00e9tica: Teorema: Todo entero positivo se puede representar de forma \u00fanica, salvo el orden, como producto de factores primos. Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy pr\u00e1cticas: Teorema: Sean $n,m\\in \\mathbb{Z}-\\{-1,0,1\\}$, con $n=p_1p_2\\cdots p_r$ y $m=q_1q_2\\cdots q_s$, sus descomposiciones en factores primos,&hellip; <a class=\"more-link\" href=\"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/?p=234\">Seguir leyendo <span class=\"screen-reader-text\">MAD: Teorema fundamental de la aritm\u00e9tica<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[5],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/234"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=234"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/234\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":241,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/234\/revisions\/241"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=234"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=234"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=234"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}