En d\u00eda de hoy consideramos un caso particular de endomorfismos y matrices que se consideran son sim\u00e9tricos. Para ello definimos un endomorfismo sim\u00e9trico.<\/p>\n
Si consideramos un espacio euncl\u00eddeo $\\mathcal{E}$, con el producto escalar $\\bullet$, se dice que un endomorfismo $f:\\mathcal{E}\\to\\mathcal{E}$ es sim\u00e9trico si: $$\\vec{u}\\bullet f(\\vec{v})=\\vec{v}\\bullet f(\\vec{u}),\\quad\\forall \\vec{u},\\vec{v}\\in\\mathcal{E}.$$ <\/p>\n
La caracter\u00edstica de un endomorfismo sim\u00e9trico est\u00e1 asociada a su matriz, que tambi\u00e9n es sim\u00e9trica. Pues bien, si tenemos un espacio vectorial finito y la matriz $A$ es la matriz de un endomormismo $f$ en una base ortonormal del espacio, entonces $f$ es sim\u00e9trico si, y s\u00f3lo si, $A$ es sim\u00e9trica.<\/p>\n
Este resultado tiene una implicaci\u00f3n muy importante, pues en este caso podemos afirmar que $f$ (o m\u00e1s bien su matriz asociada $A\\in \\mathcal{M}_n(\\mathbb{R})$) es diagonalizable ortogonalmente; es decir, existe $D$, matriz diagonal, y $P$ matriz ortogonal tal que $$A=P\\,D\\,P^{-1}.$$<\/p>\n
Una aplicaci\u00f3n es al caso de las c\u00f3nicas. Una c\u00f3nica es por definici\u00f3n el lugar geom\u00e9trico de la ecuaci\u00f3n:
\n$$ax^2+by^2+2cxy+dy+fx=e$$
\nque equivale a
\n$$[x\\,\\,y]\\begin{bmatrix} a&c\\\\ b&d\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} x\\\\ y\\end{bmatrix}+[d \\,\\,f]\\begin{bmatrix} x\\\\ y\\end{bmatrix}=e$$
\nComo la matriz $A=\\begin{bmatrix} a&c\\\\ b&d\\end{bmatrix}$ es diagonalizable, existir\u00e1 $A=PDP^t$, de modo que
\n$$e=\\vec{v}^tPDP^t\\vec{v}+[d\\,\\, f]\\vec{v}=\\vec{v}^tPDP^t\\vec{v}+[d\\,\\, f]PP^t\\vec{v}$$
\nSi ponemos $P^t\\vec{v}=\\vec{u}$, la c\u00f3nica quedar\u00e1 como:
\n$$e=\\vec{u}^tD\\vec{u}+[d\\,\\, f]P\\vec{u}.$$
\nDe donde podremos ver que $$e=\\lambda_1 \\vec{u}_1^2+\\lambda_2 \\vec{u}_2^2+\\alpha\\vec{u}_1+\\beta\\vec{u}_2,$$ donde $\\lambda_i$ son los autovalores de $A$ y $\\vec{u}_i$ van en la direcci\u00f3n de la base ortonormal de los autovectores de $A$.<\/p>\n