{"id":187,"date":"2018-01-18T08:58:58","date_gmt":"2018-01-18T07:58:58","guid":{"rendered":"http:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=187"},"modified":"2018-01-18T08:58:58","modified_gmt":"2018-01-18T07:58:58","slug":"alg-matrices-ortogonales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/?p=187","title":{"rendered":"ALG: Matrices ortogonales"},"content":{"rendered":"<p>Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\\mathcal{E},\\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\\mathcal{E}\\to \\mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\\vec{x})\\bullet f(\\vec{y})=\\vec{x}\\bullet \\vec{y},\\quad\\forall\\,\\vec{x}, \\vec{y}\\in\\mathcal{E}$$<\/p>\n<p>Propiedades que cumple una aplicaci\u00f3n ortogonal:<\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"line-height: 13px;\" data-mce-mark=\"1\">Es lineal<\/span><\/li>\n<li>Conserva la norma; es decir, $||f(\\vec{x})||=||\\vec{x}||$<\/li>\n<li>Dos vectores son ortogonales si, y solo si, sus im\u00e1genes son ortogonales<\/li>\n<li>La aplicaci\u00f3n es biyectiva<\/li>\n<li>Los vectores propios de valores propios distintos son ortogonales<\/li>\n<li>La imagen de una base ortonormal es ortonormal<\/li>\n<li>Su matriz asociada es ortogonal<\/li>\n<\/ul>\n<p>Hay varias formas de definir una matriz ortogonal. Nosotros emplearemos la que parte de la teor\u00eda de matrices. As\u00ed diremos que de una matriz cuadrada es ortogonal si su inversa coincide con su traspuesta; es decir,$$A^{-1}=A^t.$$<\/p>\n<p>Para nosotros ser\u00e1 muy \u00fatil el siguiente resultado:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\n<strong>Teorema:<\/strong> Una matriz $A\\in\\mathcal{M}_n(\\mathbb{R})$ es ortogonal si y s\u00f3lo si sus vectores filas o vectores columna son cada uno un conjunto ortonormal de vectores.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Otra propiedad muy \u00fatil es que el determinante de una matriz ortogonal es 1 \u00f3 -1.<\/p>\n<p>La relaci\u00f3n entre los concepto de aplicaci\u00f3n ortogonal y matriz ortogonal es muy sencilla:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema:<\/strong>  Si tenemos un endomorfismo ortogonal sobre una base ortonormal, entonces su matriz asociada es una matriz ortogonal.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Dicho de otro modo, las aplicaciones ortogonales, aquellas que conservan el producto escalar, tienen por matrices asociadas a matrices ortogonales (matrices cuadradas que cumplen que su inversa coincide con la traspuesta). Adem\u00e1s se cumple, que en una matriz ortogonal las filas o columnas, consideradas como vectores, son ortonormales.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table id=\"yzpi\" width=\"100%\" border=\"0\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> Hallar $a,b,c,\\alpha,\\beta,\\gamma\\in\\mathbb{R}$ de manera que la matriz \\begin{pmatrix}a &amp; 2a &amp; 2\/3 \\\\ b &amp; -b &amp; c \\\\ \\alpha &amp; \\beta &amp; \\gamma\\end{pmatrix} sea ortogonal<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\\mathcal{E},\\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\\mathcal{E}\\to \\mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\\vec{x})\\bullet f(\\vec{y})=\\vec{x}\\bullet \\vec{y},\\quad\\forall\\,\\vec{x}, \\vec{y}\\in\\mathcal{E}$$ Propiedades que cumple una aplicaci\u00f3n ortogonal: Es lineal Conserva la norma; es decir, $||f(\\vec{x})||=||\\vec{x}||$ Dos vectores son ortogonales si, y solo si, sus im\u00e1genes&hellip; <a class=\"more-link\" href=\"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/?p=187\">Seguir leyendo <span class=\"screen-reader-text\">ALG: Matrices ortogonales<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[4],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/187"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=187"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":188,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions\/188"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=187"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=187"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/curso17.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=187"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}