El pasado d\u00eda ve\u00edamos que cuando $S$ era un subespacio vectorial entonces $$E=S\\oplus S^{\\bot}$$<\/p>\n
Esto implica que para todo vector $\\vec{v}\\in E$ existir\u00e1n dos \u00fanicos vectores $\\vec{u}\\in S$ y $\\vec{w}\\in S^{\\bot}$, tales que $$\\vec{v}=\\vec{u}+\\vec{w}.$$<\/p>\n
Estos vectores $\\vec{u}$ o $\\vec{w}$ son lo que llamamos proyecciones ortogonales de $\\vec{v}$ sobre $S$ o $S^{\\bot}$ respectivamente.<\/p>\n
La definici\u00f3n cl\u00e1sica nos dice que si $S\\subset E$, un subespacio vectorial de un espacio euclídeo, para nuestros casos finitamente generado, llamamos proyecci\u00f3n ortogonal del vector $\\vec{v}$ sobre el subespacio $S$, al \u00fanico vector $\\vec{u}\\in S$ talque $\\vec{v}-\\vec{u}\\in S^{\\bot}$.<\/p>\n
A la aplicaci\u00f3n $proy_S:E\\to S$ que a cada vector de $E$ le hace corresponder su proyecci\u00f3n ortogonal sobre $S$, se le denomina del mismo modo: proyecci\u00f3n ortogonal.<\/p>\n
Veamos un m\u00e9todo para calcular la proyecci\u00f3n ortogonal. Primero empezamos con la proyecci\u00f3n sobre un vector. Si $S=<\\vec{s}>$; es decir, es una recta, entonces $$proy_\\vec{s}(\\vec{v})=\\frac{\\vec{v}\\bullet\\vec{s}}{\\parallel\\vec{s}\\parallel^2}\\vec{s}.$$<\/p>\n
Extenderlo a cualquier subespacio es sencillo, solo necesitamos una base ortogonal del subespacio: Sea $\\{\\vec{u}_1,\\vec{u}_1,\\ldots,\\vec{u}_m\\}$ una base ortogonal de $S$, entonces
\n$$proy_S(\\vec{v})=\\sum_{i=1}^m\\frac{\\vec{v}\\bullet\\vec{u}_i}{\\parallel\\vec{u}_i\\parallel^2}\\vec{u}_i.$$
\nSi adem\u00e1s la base es ortonormal la expresi\u00f3n se reduce mucho:
\n$$proy_S(\\vec{v})=(\\vec{v}\\bullet\\vec{u}_i)\\vec{u}_1+(\\vec{v}\\bullet\\vec{u}_2)\\vec{u}_2+\\ldots+(\\vec{v}\\bullet\\vec{u}_m)\\vec{u}_m.$$<\/p>\n
El prop\u00f3sito es determinar dado un subespacio vectorial $S\\subset\\mathbb{R}^n$ y un vector, o punto, $\\vec{v}\\in\\mathbb{R}^n$, minimizar la distancia de $\\vec{v}$ a cualquier $\\vec{s}\\in S$. Para conseguirlo utilizamos el siguiente resultado:<\/p>\n
\n\nTeorema:<\/strong> Sea $S\\subset\\mathbb{R}^n$ un sube.v., $\\vec{v}\\in\\mathbb{R}^n$ y $\\vec{s}\\in S$, son equivalentes<\/p>\n
\n
- $\\vec{s}\\in S$ es la proyecci\u00f3n ortogonal de $\\vec{v}$ sobre $S$, $proy_S(\\vec{v})$; es decir, $\\vec{v}-\\vec{s}\\in S^{\\bot}$<\/li>\n
- $\\vec{s}\\in S$ es la mejor aproximaci\u00f3n de $\\vec{v}$ sobre $S$; es decir,$\\parallel \\vec{v}-\\vec{s}\\parallel\\leq \\parallel \\vec{v}-\\vec{w}\\parallel\\,\\forall \\vec{w}\\in S$<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n