Hoy hemos visto la definici\u00f3n y tipos de ecuaciones diferenciales, donde trabajamos la definici\u00f3n formal de una ED y clasificando las mismas de acuerdo con su tipo, orden y linealidad; c\u00f3mo realizar las gr\u00e1ficas de las soluciones de ED; sus tipos de soluciones: trivial, explicitas e impl\u00edcitas.<\/p>\n
Trataremos con m\u00e1s frecuencia las soluciones generales param\u00e9tricas de un Problema de valores iniciales y, en algunos casos, veremos soluciones singulares.<\/p>\n
Un Problema de valor inicial es una ecuaci\u00f3n diferencial $y'(x)=f(x,y(x))$ con $f\\colon \\Omega \\subset \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}^{n}\\to\\mathbb{R}^{n}$, donde $\\Omega$ es un conjunto abierto de $\\mathbb{R}^{n}\\to\\mathbb{R}^{n}$, junto con un punto en el dominio de $f$, $(x_{0},y_{0})\\in \\Omega$ llamada la condici\u00f3n inicial. Una soluci\u00f3n a un problema de valor inicial es una funci\u00f3n $y$ que es una soluci\u00f3n a la ecuaci\u00f3n diferencial y satisface
\n$y(x_{0})=y_{0}$.<\/p>\n
Nosotros trabajaremos principalmente con la soluci\u00f3n general, una soluci\u00f3n de tipo gen\u00e9rico, expresada con una o m\u00e1s constantes. Como dependiendo del par\u00e1metro ser\u00e1 una funci\u00f3n distinta, decimos familia de soluciones $n$-param\u00e9tricas. A veces por abreviar, monoparam\u00e9tricas, si es de un s\u00f3lo par\u00e1metro; biparam\u00e9trica, …<\/p>\n
Que existan una soluci\u00f3n en particular depender\u00e1 de la funci\u00f3n $f(x,y)$, de la EDO. El teorema de Picard nos lo confirma:<\/p>\n
Sea $f(x,y):\\Omega \\subseteq \\mathbb {R} \\times \\mathbb {R} ^{n}\\longrightarrow \\mathbb {R} ^{n}$ donde $\\Omega$ es un abierto, y $f$ una funci\u00f3n continua y localmente Lipschitz respecto de $y$. Entonces, dado $(x_{0}, y_{0})\\in \\Omega$, podemos encontrar un intervalo cerrado $I_{\\alpha }=[x_{0}-\\alpha ,x_{0}+\\alpha ]\\subset \\mathbb {R} ,\\alpha \\in \\mathbb {R}$ donde existe soluci\u00f3n \u00fanica del siguiente problema de Cauchy:
\n$$\\begin{cases}x’=f(t,x)\\\\x(t_{0})=x_{0}\\end{cases},$$
\nque cumple que los pares $\\in \\Omega, \\forall t \\in I_{\\alpha}$.<\/p>\n
Terminamos repasando ejercicios de c\u00f3mo dadas la familia de soluciones podemos encontrar la ecuaci\u00f3n diferencial que la proporciona.<\/p>\n
Recordad que para este prop\u00f3sito nos basta con diferenciar: Supongamos $F(x,y(x))=c$ es la familia, en este caso, monoparam\u00e9trica de soluciones, si diferenciamos
\n$$d(F(x,y(x)))=d(c)=0$$
\n$$\\Downarrow$$
\n$$\\partial_xF(x,y)dx+\\partial_yF(x,y)dy=0$$
\n$$\\Downarrow$$
\n$$\\partial_xF(x,y)+\\partial_yF(x,y)\\frac{dy}{dx}=0$$
\n$$\\Downarrow$$
\n$$\\partial_yF(x,y)\\frac{dy}{dx}=-\\partial_xF(x,y)$$
\n$$\\Downarrow$$
\n$$\\frac{dy}{dx}=-\\frac{\\partial_xF(x,y)}{\\partial_yF(x,y)}$$<\/p>\n
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