Recordad que todo sistemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuaci\u00f3n matricial $$AX=B,$$ donde $A$ es la matriz de coeficiente y $B$ la matriz de t\u00e9rminos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena $A$ y$ B$, ($A|B$) .<\/p>\n
El Teorema de Rouch\u00e9-Fr\u00f6benius nos afirma que Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.<\/p>\n
As\u00ed un sistema ser\u00e1:<\/p>\n
$$
\n\\left\\{\\begin{array}{l}
\n\\begin{array}{c}
\nCompatible \\\\
\nrang(A)=rang(A|B)
\n\\end{array}\\left\\{\\begin{array}{l}
\n\\begin{array}{c}
\nDeterminado \\\\
\nrang(A)=\\mbox{N\u00famero de inc\u00f3gnitas}
\n\\end{array} \\\\
\n\\begin{array}{c}
\nIndeterminado \\\\
\nrang(A)<\\mbox{N\u00famero de inc\u00f3gnitas}\n\\end{array} \\\\\n\\end{array}\\right.\\\\\n\\begin{array}{c}\nIncompatible \\\\\nrang(A)\\neq rang(A|B)\n\\end{array}\\\\\n\\end{array}\\right.\n$$\n\nPara resolver un sistema compatible s\u00f3lo tenemos que encontrar un menor de $A$ distinto de cero y del mismo orden que en rango de $A$. Supongamos que $\\bar{A}$ es la submatriz de $A$ cuyo menor es el que buscamos. Entonces $A|B$ se puede transformar mediante operaciones elementales por filas en una matriz\n\n$$(A|B)\\sim\\left(\\begin{array}{c}\n\\bar{A}\\,\\bar{P}\\\\\n0\\end{array}\\left|\\begin{array}{c}\n\\bar{B}\\\\\n0\\end{array}\\right.\\right)$$\nDonde $\\bar{P}$ son o $0$ o las columnas de la martiz $A$ tales que $$rang(A)+\\mbox{n\u00bacolumnas}(\\bar{P})=\\mbox{N\u00famero de inc\u00f3gnitas}.$$\nDe este modo el sistema tendr\u00e1 por soluci\u00f3n\n$$\\bar{X}=inv(\\bar{A})\\cdot (\\bar{B}-\\bar{P}K),$$\ndonde $K$ son las variables, en forma de par\u00e1metros, que faltan en el menor de $\\bar{A}$, y tales que $X^t=(\\bar{X}^t K^t)$.\n\nUtilizar las ecuaciones impl\u00edcitas nos sirve para encontrar con m\u00e1s facilidad la intersecci\u00f3n de dos subespacios: $S\\cap$ estar\u00e1 formado por las ecuaciones impl\u00edcitas de $S$ m\u00e1s la de $T$.\n\n<\/p>\n