Hoy hemos trabajado con la definici\u00f3n del producto escalar y norma en $\\mathbb{R}^2$ y $\\mathbb{R}^3$, aunque por extensi\u00f3n se puede hacer para $\\mathbb{R}^n$. Estas definiciones nos dan pie a definir el \u00e1ngulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad.<\/p>\n
Adem\u00e1s definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de $\\mathbb{R}^3$, estudiando propiedades que m\u00e1s tarde utilizaremos. Por \u00faltimo hemos definido el producto mixto de tres vectores de $\\mathbb{R}^3$.<\/p>\n
Adem\u00e1s hemos aprendido a expresar de una nueva forma un plano af\u00edn en $\\mathbb{R}^3$, si $\\pi:\\{P+\\lambda\\vec{v}+\\mu\\vec{u}|P\\in\\mathbb{R}^3, \\vec{v},\\vec{u}\\in\\mathbb{R}^3,\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\}$, llamamos forma general a $$(x-p_1,y-p_2,z-p_2)\\cdot(\\vec{v}\\times\\vec{u})=0.$$<\/p>\n
El s\u00edmbolo $\\times$ hace referencia al producto vectorial, que calculamos mediante:
\n$$\\vec{v}\\times\\vec{u}=\\begin{vmatrix}\\vec{i} & \\vec{j} &\\vec{k}\\\\ v_1 & v_2 & v_3 \\\\ u_1 & u_2 & u_3\\end{vmatrix}$$<\/p>\n
El producto escalar nos da pie a definir la norma de un vector como la ra\u00edz cuadrada de el producto escalar de un vector por si mismo: $$||\\vec{v}||=\\sqrt{\\vec{v}\\bullet\\vec{v}}$$<\/p>\n
En el caso de $\\mathbb{R}^n$:
\n$$||(v_1,v_2,\\ldots,v_n)||=\\sqrt{v_1^2 +v_2^2+\\ldots + v_n^2}$$
\nCon la norma podemos definir la distancia entre dos puntos $P$ y $Q\\in \\mathbb{R}^3$ como:
\n$$d(P,Q)=||\\vec{QP}||=\\sqrt{(q_1-p_1)^2 +(q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}$$
\nDel mismo modo definimos la distancia de una recta $r=\\{P+<\\vec{v}>\\}\\in \\mathbb{R}^3$ a un punto $Q$ como:
\n$$d(Q,r)=\\frac{||\\vec{PQ}\\times\\vec{v}||}{||\\vec{v}||}$$
\nSin embargo, si queremos calcular la distancia entre un punto $P$ y el plano $\\pi:ax+by+cz+d=0$, que no lo contiene, lo haremos mediante:
\n$$d(P,\\pi)=\\frac{|ap_1+bp_2+cp_3+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$<\/p>\n