Hoy comenzamos intentando definir un espacio donde podamos fijar los vectores de $\\mathbb{R}^2$ o $\\mathbb{R}^3$ de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguir\u00e1 en el espacio af\u00edn.<\/p>\n
Podemos definir el plano af\u00edn $\\mathbb{R}^2$ como el conjunto $\\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto $\\mathbb{R}^2$, como $\\mathbb{R}$-espacio vectorial, m\u00e1s una aplicaci\u00f3n especial $\\phi$. Para notar los elementos de $\\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, escribimos $P=(x,y)\\in\\mathbb{R}^2$, y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial $\\mathbb{R}^2$ escribimos como habitualmente hacemos, $\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in\\mathbb{R}^2$, y les denominamos vectores del plano. La aplicaci\u00f3n $\\phi$ ir\u00e1 del producto cartesiano $\\mathbb{R}^2\\times\\mathbb{R}^2$ de los puntos en el espacio vectorial $\\mathbb{R}^2$; es decir, relacionar\u00e1 dos puntos con un vector.<\/p>\n
Con estos dos conjuntos, la aplicaci\u00f3n $\\phi$ debe verificar:<\/p>\n
Estas propiedades nos definen a $\\mathbb{R}^2$ como un espacio af\u00edn sobre el espacio vectorial $\\mathbb{R}^2$, que denominamos el plano af\u00edn<\/em>.<\/p>\n Esta definici\u00f3n podemos trasladarla sin problemas al $\\mathbb{R}^3$ definiendo el espacio af\u00edn<\/em>.<\/p>\n Con esta definici\u00f3n podemos abordad las variedades afines dadas por la recta en el plano af\u00edn, y, la recta y el plano, en el espacio af\u00edn. El objetivo de hoy ha sido trabajar con estas variedades, consiguiendo sus ecuaciones param\u00e9tricas e impl\u00edcitas. <\/p>\n As\u00ed veremos que las ecuaciones param\u00e9tricas de una recta en el plano af\u00edn que pasa por un punto $P(p_1,p_2)$ y que tiene por subespacio director el generado por el vector $\\vec{v}=(v_1,v_2)$, vendr\u00e1 dada de la forma: $$r=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\\lambda(v_1,v_2),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}$$<\/p>\n Del mismo modo probamos que la ecuaci\u00f3n impl\u00edcita de la recta en el plano af\u00edn que pasa por los puntos $P(p_1,p_2)$ y $Q(q_1,q_2)$ vendr\u00e1 dada por el determinante: Trasladar lo anterior al espacio af\u00edn resulta sencillo. Una recta en el espacio af\u00edn que pasa por un punto $P(p_1,p_2,p_3)$ y que tiene por subespacio director el generado por el vector $\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, vendr\u00e1 dada de la forma: $$r=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\\lambda(v_1,v_2,v_3),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}$$<\/p>\n Y si queremos la ecuaci\u00f3n impl\u00edcita del plano en el espacio af\u00edn que pasa por un punto $P(p_1,p_2,p_3)$ y que tiene por subespacio director el generado por los vectores $\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ y $\\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, vendr\u00e1 determinado por el determinante $$\\begin{vmatrix} x-p_1 & y-p_2 & z-p_3\\\\ v_1 & v_2 & v_3 \\\\ u_1 & u_2 & u_3 \\end{vmatrix}=0$$<\/p>\n<\/p>\n
\n$$\\begin{vmatrix} x & y & 1\\\\ p_1 & p_2 & 1\\\\ q_1 & q_2 & 1 \\end{vmatrix}=0$$<\/p>\n