Recordad que llevamos visto cuando todos los autovalores son distintos. Para los dem\u00e1s casos, empezaremos con $A\\in\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})$, de este modo el polin\u00f3mio caracter\u00edstico de esta matriz ser\u00e1 $p_A(\\lambda)\\in\\mathbb{R}_2[X]$. Las soluciones depender\u00e1n de los valores propios que nos de la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica $p_A(\\lambda)=0$. <\/p>\n
Si los valores propios son distintos estamos en el caso general, visto anteriormente.<\/p>\n
Supongamos que $\\lambda_1=\\lambda_2$; es decir, $p_A(\\lambda)=0$, tiene un cero de multiplicidad doble y un \u00fanico vector propio $\\vec{v}$, entonces la soluci\u00f3n ser\u00e1 de la forma $$X=c_1\\vec{v}e^{\\lambda_1t}+c_2(\\vec{v}t+\\vec{u})e^{\\lambda_1t},$$ donde $\\vec{u}$ es un vector que tendremos que deducir con las condiciones del sistema. Para encontrar $\\vec{u}$ podemos hacerlo con la ecuaci\u00f3n $$(A-\\lambda I)\\vec{u}=\\vec{v}$$<\/p>\n