En este tema repasaremos nociones referentes al plano y al espacio como conjuntos de vectores. Esto nos conduce a la definici\u00f3n de las ecuaciones param\u00e9tricas e impl\u00edcitas de rectas y planos. <\/p>\n
En $\\mathbb{R}^2$ (el plano), un subespacio vectorial propio vendr\u00eda dado por el sistema generador de un s\u00f3lo vector. As\u00ed cualquier subespacio vectorial $S\\subset \\mathbb{R}^2$, ser\u00e1 de la forma $S=<(a,b)>$ para ciertos $a,b\\in\\mathbb{R}$. Es decir, $(x,y)\\in S$ sii existe $\\lambda\\in \\mathbb{R}$ que cumple<\/p>\n
$$
\n\\begin{align*}
\nx&= \\lambda a \\\\
\ny&= \\lambda b
\n\\end{align*}
\n$$
\nEstas ecuaciones definen la expresi\u00f3n del subespacio mediante sus ecuaciones param\u00e9tricas. Si despejamos $\\lambda$, obtenemos la ecuaci\u00f3n que debe verificar todo vector, $(x,y)\\in S$, $$xb-ya=0,$$ que denominamos ecuaci\u00f3n impl\u00edcita del subespacio $S$.<\/p>\n
A un subespacio vectorial de dimensi\u00f3n 1 le llamamos recta.<\/p>\n
En $\\mathbb{R}^3$ (el espacio), un subespacio vectorial propio, vendr\u00eda dado por el sistema generador de un s\u00f3lo vector o de dos vectores linealmente independientes(l.i.). Repitiendo el proceso de la recta en el plano, vemos que para una recta en $\\mathbb{R}^3$, se cumple
\n$$
\n\\begin{align*}
\nx&= \\lambda a \\\\
\ny&= \\lambda b \\\\
\nz&= \\lambda c
\n\\end{align*}
\n$$
\ncomo ecuaciones param\u00e9tricas de la recta en el espacio. Despejando $\\lambda$ obtendremos un posible sistema que debe verificar cualquier $(x,y,z)\\in S\\subset\\mathbb{R}^3$
\n$$
\n\\begin{align*}
\nbx-ay&=0 \\\\
\ncx-az&=0
\n\\end{align*}
\n$$
\nEstas ecuaciones conforman el conjunto de ecuaciones impl\u00edcitas que define una recta en el espacio.<\/p>\n
Para el subespacio un sistema generador de dos vectores,l.i., $S=<(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)>\\subset\\mathbb{R}^3$. Las ecuaciones param\u00e9tricas nos las dar\u00e1n dos par\u00e1metros, $$(x,y,z)=\\lambda(a_1,b_1,c_1)+\\mu(a_2,b_2,c_2),$$ para ciertos $\\lambda,\\mu\\in \\mathbb{R}$.
\nO lo que es lo mismo:
\n$$
\n\\begin{align*}
\nx&=\\lambda a_1+\\mu a_2 \\\\
\ny&=\\lambda b_1+\\mu b_2 \\\\
\nz&=\\lambda c_1+\\mu c_2
\n\\end{align*}
\n$$
\nComo que $(x,y,z)\\in S$ implica que existen los $\\lambda,\\mu\\in \\mathbb{R}$ que verifican lo anterior, nos dice que el sistema suponiendo $\\lambda$ y $\\mu$ variables, tiene soluci\u00f3n y distinta de cero. Para ello el rango de la matriz ampliada del sistema no puede ser tres, y, por tanto,
\n$$\\begin{vmatrix} x& a_1 & a_2 \\\\ y& b_1 & b_2 \\\\ z& c_1 & c_2 \\end{vmatrix}=0.$$
\nA la ecuaci\u00f3n resultante le llamamos ecuaci\u00f3n impl\u00edcita del plano en el espacio.<\/p>\n
Para terminar definimos el concepto de variedad lineal. Dado un vector $\\vec{v}$ de un $\\mathbb{K}$-espacio vectorial finitamente generado, $V$, y un subespacio $S\\subset V$, de definimos la variedad lineal $\\vec{v}+S$ como<\/p>\n
$$\\vec{v}+S=\\{\\vec{v}+\\vec{s}|\\vec{s}\\in S\\}$$<\/p>\n
Este tema lo pod\u00e9is consultar en los libros<\/p>\n
Geometr\u00eda Plana de IngeBook Recopilaci\u00f3n, Ingebook<\/p>\n<\/li>\n
Geometr\u00eda en el Espacio. Definiciones, Teoremas y Resultados, de Juan de Burgos, Ingebook.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n