El pasado d\u00eda vimos si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicaci\u00f3n lineal $f:V\\to W$, entonces
\n$$f(v_1,v_2,\\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\\ldots,w_m)\\Leftrightarrow M_f \\begin{pmatrix}v_1\\\\v_2\\\\ \\vdots\\\\v_n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}w_1\\\\w_2\\\\ \\vdots\\\\w_n\\end{pmatrix}.$$<\/p>\n
Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicaci\u00f3n analizando sus correspondientes matrices asociadas.<\/p>\n
Llamamos rango de una aplicaci\u00f3n lineal $f$ al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si $f:V\\to W$ es lineal<\/p>\n
Otra aplicaci\u00f3n es en la composici\u00f3n: <\/p>\n
\nDadas dos aplicaciones lineales $f:V\\to V’$ y $g:V’\\to W$ se define la aplicaci\u00f3n lineal $f$ compuesto con $g$, $(g\\circ f):V\\to W$, como $$(g\\circ f)(\\vec{v})=g(f(\\vec{v})),\\quad \\forall\\vec{v}\\in V.$$<\/p>\n<\/blockquote>\n
De este modo la composici\u00f3n de aplicaciones se puede realizar mediante multiplicaci\u00f3n de matrices<\/p>\n
$$(g\\circ f)(\\vec{v})=g(f(\\vec{v}))\\Leftrightarrow M_g(M_f\\vec{v})\\Leftrightarrow (M_g\\cdot M_f)\\vec{v}$$<\/p>\n
Si consideremos lo que hemos visto, al hecho de que podemos establecer un isomorfismo entre un $\\mathbb{R}$-espacios vectoriales $V$, de dimensi\u00f3n $n$, y $\\mathbb{R}^n$, resultar\u00e1 que podremos tratar los elementos del $\\mathbb{R}$-espacio vectorial como si fuesen vectores de $\\mathbb{R}^n$. Esto nos ayudar\u00e1 a resolver problemas diversos; por ejemplo, determinar la independencia lineal de un conjunto de polinomios mediante su matriz como vectores en $\\mathbb{R}^n$.<\/p>\n
Para terminar tratamos la imagen rec\u00edproca de un vector.<\/p>\n
Si tenemos una aplicaci\u00f3n lineal $f:V\\to W$, entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, y consideramos un vector fijo $\\vec{w}\\in W$, llamamos conjunto imagen rec\u00edproca al conjunto $$f^{-1}(\\vec{w})=\\{\\vec{v}\\in V;\\,f(\\vec{v})=\\vec{w}\\}\\subset V.$$
\nPara este conjunto puede ocurrirle dos propiedades interesante<\/p>\n\n
- Si $\\vec{w}\\notin \\operatorname{Im}(f)$, entonces $f^{-1}(\\vec{w})=\\varnothing$<\/li>\n
- Si $\\vec{w}\\in \\operatorname{Im}(f)$; es decir, existe alg\u00fan $\\vec{v}_0\\in V$ tal que $f(\\vec{v}_0)=\\vec{w}$, entonces $f^{-1}(\\vec{w})$ es la variedad af\u00edn dada por $$f^{-1}(\\vec{w})=\\vec{v}_0+\\operatorname{ker}(f)$$<\/li>\n<\/ol>\n
Veamos c\u00f3mo aplicamos esto. Consideremos la aplicaci\u00f3n $f(x,y,z)=(2x-y,-x+z)$. La imagen rec\u00edproca del vector $(1,3)\\in\\mathbb{R}^2$ est\u00e1 formada por los vectores de $(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3$ tales que
\n$$\\left.\\begin{array}{r}
\n2x-y=1 \\\\ -x+z=3
\n\\end{array}\\right\\}
\n$$
\nSi resolvemos el sistema tendremos
\n$$\\left\\{\\begin{array}{l}
\nx=k \\\\ y=-1+2k \\\\z=3+k
\n\\end{array}\\right.
\n$$
\nPor tanto, la imagen rec\u00edproca la podremos poner como<\/p>\n$$f^{-1}(1,3)=\\{(k,-1+2k,3+k);k\\in\\mathbb{R}\\}=(0,1,3)+\\{(k,2k,k);k\\in\\mathbb{R}\\},$$
\ndonde $$\\operatorname{ker}(f)=\\{(k,2k,k);k\\in\\mathbb{R}\\}.$$<\/p>\n<\/p>\n