![\"cambio_base_apli\"](\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/2014\/12\/cambio_base_apli.png\")
<\/p>\nDada una aplicaci\u00f3n lineal, $f:V\\to W$, entre dos espacios vectoriales definimos la matriz asociada de la aplicaci\u00f3n respecto de una base $B_V\\subseteq V$ como la matriz cuyas columnas son las coordendas respecto de otra base $B_W\\subseteq W$ de las im\u00e1genes de los vectores de $B_V$; es decir, si $B_V=\\{\\vec{v}_1,\\ldots,\\vec{v}_n\\}$, $B_W=\\{\\vec{w}_1,\\ldots,\\vec{w}_m\\}$, y
\n$$
\n\\begin{matrix}
\nf(\\vec{v}_1)=k_{11}\\vec{w}_1+k_{21}\\vec{w}_2+k_{31}\\vec{w}_3+\\ldots+k_{m1}\\vec{w}_m;\\\\
\nf(\\vec{v}_2)=k_{12}\\vec{w}_1+k_{22}\\vec{w}_2+k_{32}\\vec{w}_3+\\ldots+k_{m2}\\vec{w}_m;\\\\
\nf(\\vec{v}_3)=k_{13}\\vec{w}_1+k_{23}\\vec{w}_2+k_{33}\\vec{w}_3+\\ldots+k_{m3}\\vec{w}_m;\\\\
\n\\vdots \\quad \\vdots \\quad \\vdots\\\\
\nf(\\vec{v}_n)=k_{1n}\\vec{w}_1+k_{2n}\\vec{w}_2+k_{3n}\\vec{w}_n+\\ldots+k_{mn}\\vec{w}_m;
\n\\end{matrix}
\n$$
\nllamamos matriz asociada de $f$, a la matriz
\n$$
\nM_f=\\begin{pmatrix}
\nk_{11} & k_{12} & k_{13} &\\ldots & k_{1m}\\\\
\nk_{21} & k_{22} & k_{23} &\\ldots & k_{2m}\\\\
\nk_{31} & k_{32} & k_{33} &\\ldots & k_{3m}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ldots & \\vdots \\\\
\nk_{n1} & k_{n2} & k_{n3} &\\ldots & k_{nm}\\\\
\n\\end{pmatrix}
\n$$<\/p>\n
As\u00ed vemos como una matriz puede representar una aplicaci\u00f3n lineal. De hecho podemos establecer una aplicaci\u00f3n entre el conjunto de aplicaciones lineales entre dos $\\mathbb{K}$-espacios vectoriales $V$ y $W$, de dimensiones $n$ y $m$ (respectivamente) y el espacio vectorial de las matrices $M_{m\\times n}(\\mathbb{K})$ que sea un isomorfismo de espacios vectoriales; es decir, una aplicaci\u00f3n lineal biyectiva. Esto nos equipara las operaciones con aplicaciones a las operaciones con sus matrices asociadas.<\/p>\n
Sabemos que si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicaci\u00f3n lineal $f:V\\to W$, entonces
\n$$f(v_1,v_2,\\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\\ldots,w_m)\\Leftrightarrow M_f \\begin{pmatrix}v_1\\\\v_2\\\\ \\vdots\\\\v_n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}w_1\\\\w_2\\\\ \\vdots\\\\w_n\\end{pmatrix}.$$<\/p>\n
Esto nos permite deducir propiedades de la aplicaci\u00f3n con sus correspondientes en la matriz. Por ejemplo, una aplicaci\u00f3n lineal entre dos espacios vectoriales de la misma dimensi\u00f3n es un isomorfismo si, y solo si, su matriz asociada es regular.<\/p>\n
As\u00ed, podemos considerar la matriz asociada a una aplicaci\u00f3n lineal, $f:V\\to W$, entre dos espacios vectoriales respecto de una base $B_V\\subseteq V$ como la matriz cuyas columnas son las coordenadas respecto de otra base $B_W\\subseteq W$ de las im\u00e1genes de los vectores de $B_V$. \u00bfY si cambiamos las bases? Es decir, si tengo nuevas bases $B’_V$ y $B’_W$, y deseo encontrar la relaci\u00f3n entre la matriz asociada aplicaci\u00f3n $M_{f_{B_VB_W}}$, y la matriz $M_{f_{B’_VB’_W}}$. Esa relaci\u00f3n nos la ofrece el siguiente gr\u00e1fico:<\/p>\n
<\/p>\n
En este diagrama $A=M_{f_{B_VB_W}}$ y $C=M_{f_{B’_VB’_W}}$ es la matriz que desconocemos y buscamos. $P=M_{B’_VB_V}$ es la matriz del cambio de base de $B’_V$ a $B_V$ y $Q=M_{B’_WB_W}$. As\u00ed la matriz que buscamos es $$C=Q^{-1}\\,A\\,P.$$<\/p>\n
Como habitualmente tratamos los espacios vectoriales $\\mathbb{R}^n$ (recordad que todo espacio vectorial finitamente generado, de dimensi\u00f3n $n$, es isomorfo a $\\mathbb{R}^n$), este gr\u00e1fico se representar\u00eda como<\/p>\n
![\"matriz_aplic_base\"](\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/2014\/12\/matriz_aplic_base-300x199.png\")
<\/p>\n
donde $E_n$ y $E_m$ son las bases can\u00f3nicas respectivas.<\/p>\n