Categoría: Álgebra Lineal

Recordad que todo sistemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuación matricial $$AX=B,$$ donde $A$ es la matriz de coeficiente y $B$ la matriz de términos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena $A$ y$ B$, ($A|B$) . El Teorema de Rouché-Fröbenius nos afirma que Existen soluciones para el sistema… Seguir leyendo ALG: Teorema de Rouché-Fröbenius

Ampliamos las definiciones de variedades lineales que, en muchos casos, las equiparamos con los subespacios vectoriales, aunque no tienen por que serlos, a $\mathbb{R}^n$ Las variedades lineales nos dan pie para definir las ecuaciones paramétricas e implícitas que las identifican. Además hemos introducido el espacio afín y con él la variedad afín, una forma de… Seguir leyendo ALG: Variedades y Sistemas de Ecuaciones

Hoy hemos trabajado con la definición del producto escalar y norma en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, aunque por extensión se puede hacer para $\mathbb{R}^n$. Estas definiciones nos dan pie a definir el ángulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad. Además definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$, estudiando propiedades que… Seguir leyendo ALG: Producto escalar, norma, producto vectorial y mixto

Hoy comenzamos intentando definir un espacio donde podamos fijar los vectores de $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguirá en el espacio afín. Podemos definir el plano afín $\mathbb{R}^2$ como el conjunto $\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto $\mathbb{R}^2$, como… Seguir leyendo ALG: el plano afín $\mathbb{R}^2$ y el espacio afín $\mathbb{R}^3$

En este tema repasaremos nociones referentes al plano y al espacio como conjuntos de vectores. Esto nos conduce a la definición de las ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas y planos. En $\mathbb{R}^2$ (el plano), un subespacio vectorial propio vendría dado por el sistema generador de un sólo vector. Así cualquier subespacio vectorial $S\subset \mathbb{R}^2$,… Seguir leyendo ALG: Los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$

El pasado día vimos si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicación lineal $f:V\to W$, entonces $$f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.$$ Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicación analizando sus correspondientes matrices asociadas. Llamamos rango de una aplicación lineal $f$ al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si $f:V\to W$… Seguir leyendo ALG: Propiedades de la matriz asociada a una aplicación

Dada una aplicación lineal, $f:V\to W$, entre dos espacios vectoriales definimos la matriz asociada de la aplicación respecto de una base $B_V\subseteq V$ como la matriz cuyas columnas son las coordendas respecto de otra base $B_W\subseteq W$ de las imágenes de los vectores de $B_V$; es decir, si $B_V=\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\}$, $B_W=\{\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_m\}$, y $$ \begin{matrix} f(\vec{v}_1)=k_{11}\vec{w}_1+k_{21}\vec{w}_2+k_{31}\vec{w}_3+\ldots+k_{m1}\vec{w}_m;\\ f(\vec{v}_2)=k_{12}\vec{w}_1+k_{22}\vec{w}_2+k_{32}\vec{w}_3+\ldots+k_{m2}\vec{w}_m;\\… Seguir leyendo ALG: Matriz asociada a una aplicación lineal

Al hablar de grupos se introdujo la definición de homomorfismo y con ella la de núcleo. Ahora extendemos esta definición a espacios vectoriales para definir la aplicación lineal: un homomorfismo entre espacios vectoriales. Así diremos que una aplicación (en algunos libros le dicen Transformación) entre dos espacios vectoriales, $f:V\to W$, sobre el mismo cuerpo$\mathbb{K}$, es… Seguir leyendo ALG: Aplicaciones lineales

Recordemos que todo espacio vectorial finitamente generado tiene una base. Sea $V$ nuestro $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $\mathcal{B}=\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}$, una base del mismo. Para cualquier vector de $V$, $\vec{v}\in V$, existirán unos únicos escalares $k_i\in \mathbb{K}$, tales que $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots+k_n\vec{v}_n.$$ Pues bien, a esos escalares los denominamos coordenadas de $\vec{v}$ respecto de la base $\mathcal{B}$. Así, representado… Seguir leyendo ALG: Cambio de base

La definición de base del pasado día nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. Así, si $\vec{v}\in V$, donde $V$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$, decimos que $(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ son las coordenadas del $\vec{v}$ respecto de la base $B$, si $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2 \vec{v}_2+\ldots+k_n\vec{v}_n$$ Un resultado muy interesante: Un… Seguir leyendo ALG: Subespacios vectoriales